Номер 5.32, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.

Для решения задачи используется метод анализа, который заключается в предположении, что треугольник уже построен, и последующем нахождении связей между его элементами и данными величинами. Основная идея заключается в «развертывании» периметра треугольника на прямой.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ с вершинами $A, B, C$, сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$ построен. По условию нам даны периметр $P = a+b+c$, один из углов (пусть это будет $\angle B = \beta$) и высота, проведенная из вершины другого угла (пусть это будет высота из вершины $A$, $h_a$).

На прямой, содержащей сторону $BC$, отложим отрезки, равные боковым сторонам. На продолжении отрезка $BC$ за точку $B$ отложим отрезок $BD = AB = c$, а на продолжении за точку $C$ — отрезок $CE = AC = b$. В результате получим отрезок $DE$, длина которого равна $DB + BC + CE = c + a + b = P$.

Рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ACE$.

$\triangle ADB$ — равнобедренный, так как по построению $AB = DB$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle ADB = \angle DAB$. Угол $\angle ABC = \beta$ является внешним для $\triangle ADB$. По свойству внешнего угла, $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = 2\angle ADB$. Из этого соотношения мы можем найти угол $\angle ADB$: $\angle ADB = \beta/2$.

Таким образом, мы можем определить положение вершины $A$. Точка $A$ является пересечением двух геометрических мест точек:

1. Множество точек, удаленных от прямой $DE$ на расстояние $h_a$. Это две прямые, параллельные $DE$. Выберем ту, что находится в нужной нам полуплоскости.

2. Множество точек, из которых отрезок $DE$ виден под определенным углом со стороны вершины $D$. А именно, точка $A$ лежит на луче, выходящем из точки $D$ под углом $\beta/2$ к прямой $DE$.

Пересечение этих двух линий однозначно определяет положение вершины $A$.

После нахождения вершины $A$, найдем вершины $B$ и $C$. Точка $B$ лежит на отрезке $DE$ и по построению равноудалена от точек $A$ и $D$ ($AB=DB$). Следовательно, $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Точка $C$ также лежит на отрезке $DE$ и равноудалена от точек $A$ и $E$ ($AC=CE$), а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $DE$, равный заданному периметру $P$.

2. Строим угол, равный $\beta$, и делим его пополам с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол $\beta/2$.

3. От луча $DE$ в точке $D$ откладываем угол $\angle EDX$, равный $\beta/2$.

4. Строим прямую $l$, параллельную прямой $DE$ и отстоящую от нее на расстояние $h_a$ (в той же полуплоскости, что и луч $DX$).

5. Точка пересечения луча $DX$ и прямой $l$ есть вершина $A$ искомого треугольника.

6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $B$.

7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $C$.

8. Соединяем точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Необходимо доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Периметр. По построению точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, поэтому $AB=DB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, поэтому $AC=CE$. Периметр $\triangle ABC$ равен $AB+BC+CA = DB+BC+CE = DE$. Длина отрезка $DE$ по построению равна $P$. Следовательно, периметр построенного треугольника равен $P$.

2. Угол. В равнобедренном треугольнике $ADB$ ($AB=DB$) угол $\angle ABC$ является внешним при вершине $B$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = 2\angle ADB$. По построению $\angle ADB = \beta/2$. Отсюда $\angle ABC = 2 \cdot (\beta/2) = \beta$.

3. Высота. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ есть расстояние от точки $A$ до прямой $DE$, на которой лежит сторона $BC$. По построению точка $A$ находится на прямой $l$, параллельной $DE$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота из вершины $A$ равна $h_a$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, треугольник построен верно.

Исследование

Для существования решения необходимо, чтобы построение было выполнимо и приводило к невырожденному треугольнику.

1. Построение точки $A$ возможно и однозначно, если луч, построенный под углом $\beta/2$, пересекает прямую, параллельную $DE$. Это всегда так при $h_a > 0$ и $0^\circ < \beta < 180^\circ$, поскольку угол $\beta/2$ будет острым.

2. Построение точек $B$ и $C$ также всегда выполнимо, так как $A$ не лежит на прямой $DE$.

3. Для того чтобы полученный треугольник был невырожденным, должны выполняться неравенства треугольника. Анализ показывает, что все они эквивалентны одному условию, связывающему исходные данные: $P \sin\beta > 2h_a$. Если это условие выполнено, задача имеет единственное решение. Если $P \sin\beta \le 2h_a$, то построить невырожденный треугольник, удовлетворяющий условиям, невозможно.

Ответ: Искомый треугольник — это треугольник $ABC$, построенный по вышеописанному алгоритму. Задача имеет единственное решение при выполнении условия $P \sin\beta > 2h_a$, где $P$ — периметр, $\beta$ — данный угол, а $h_a$ — высота, проведенная из вершины другого угла, не совпадающего с вершиной угла $\beta$.