Номер 4, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Луч $\text{YM}$ пересекает прямую $\text{c}$, луч $\text{YN}$ пересекает прямую $\text{c}$. Пересекает ли отрезок $\text{MN}$ прямую $\text{c}$?

A) Да, всегда

C) Никогда не пересечет

B) Может пересечь

D) Нет правильного ответа

Для анализа этой задачи воспользуемся понятием полуплоскости. Прямая $c$ делит плоскость на две открытые полуплоскости, назовем их $H_1$ и $H_2$. Отрезок, соединяющий точки из разных полуплоскостей, обязательно пересечет разделяющую их прямую. Отрезок, соединяющий точки из одной полуплоскости, целиком лежит в ней и не пересекает эту прямую.

Рассмотрим положение точки $Y$, которая является началом лучей $YM$ и $YN$. Пусть точка $Y$ находится в полуплоскости $H_1$.

По условию, луч $YM$ пересекает прямую $c$. Это означает, что на луче есть точка, принадлежащая прямой $c$. Назовем ее $P_M$. При этом положение точки $M$ на луче $YM$ относительно точки $P_M$ не задано. Аналогично, луч $YN$ пересекает прямую $c$ в некоторой точке $P_N$.

Рассмотрим два возможных случая, которые оба удовлетворяют условиям задачи:

Случай 1: Отрезок $MN$ не пересекает прямую $c$.

Выберем положение точки $M$ на луче $YM$ так, чтобы она находилась между $Y$ и точкой пересечения $P_M$. В этом случае $M$ лежит в той же полуплоскости $H_1$, что и $Y$. Аналогично, выберем положение точки $N$ на луче $YN$ между $Y$ и точкой пересечения $P_N$. Тогда $N$ тоже будет лежать в полуплоскости $H_1$. Поскольку обе точки $M$ и $N$ находятся в одной полуплоскости, соединяющий их отрезок $MN$ целиком находится в этой полуплоскости и не пересекает прямую $c$.

Случай 2: Отрезок $MN$ пересекает прямую $c$.

Выберем положение точки $M$ так же, как в первом случае — между $Y$ и $P_M$. Таким образом, точка $M$ находится в полуплоскости $H_1$. Теперь выберем положение точки $N$ на луче $YN$ так, чтобы точка пересечения $P_N$ находилась между $Y$ и $N$. В этом случае точка $N$ будет лежать в другой полуплоскости, $H_2$. Так как точки $M$ и $N$ лежат в разных полуплоскостях ($M \in H_1$, а $N \in H_2$), отрезок $MN$ обязательно пересечет прямую $c$.

Поскольку мы показали, что возможны оба варианта (пересечение и отсутствие пересечения) при выполнении заданных условий, это означает, что пересечение возможно, но не гарантировано. Следовательно, правильный ответ — "Может пересечь".

Ответ: В) Может пересечь