Номер 9, страница 107 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Углы $BOD$ и $COD$ — смежные. $\text{OE}$ — биссектриса угла $BOD$, причем угол $COD$ на $21^\circ$ больше угла $DOE$. Найдите угол $BOE$.

A) $67^\circ$

B) $74^\circ$

C) $46^\circ$

D) $53^\circ$

По условию задачи, углы $BOD$ и $COD$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$ \angle BOD + \angle COD = 180^\circ $

Луч $OE$ — биссектриса угла $BOD$. Это означает, что он делит угол $BOD$ на два равных угла: $BOE$ и $DOE$.

$ \angle BOE = \angle DOE $

Следовательно, величина угла $BOD$ в два раза больше величины угла $BOE$ (или $DOE$):

$ \angle BOD = 2 \cdot \angle BOE $

Также по условию, угол $COD$ на $21^\circ$ больше угла $DOE$:

$ \angle COD = \angle DOE + 21^\circ $

Пусть искомый угол $ \angle BOE = x $.

Так как $OE$ — биссектриса, то $ \angle DOE = \angle BOE = x $.

Тогда мы можем выразить углы $BOD$ и $COD$ через $x$:

$ \angle BOD = 2 \cdot \angle BOE = 2x $

$ \angle COD = \angle DOE + 21^\circ = x + 21^\circ $

Теперь подставим эти выражения в уравнение для смежных углов:

$ \angle BOD + \angle COD = 180^\circ $

$ 2x + (x + 21^\circ) = 180^\circ $

Решим полученное уравнение:

$ 3x + 21^\circ = 180^\circ $

$ 3x = 180^\circ - 21^\circ $

$ 3x = 159^\circ $

$ x = \frac{159^\circ}{3} $

$ x = 53^\circ $

Поскольку мы обозначили за $x$ угол $BOE$, то $ \angle BOE = 53^\circ $. Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $53^\circ$