Номер 4, страница 108 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке D. Известно, что $AB = AC$. Какой еще вывод можно сделать в этом случае?

A) $BD = DC$ (биссектриса в равнобедренном треугольнике является медианой)

B) $\angle B = \angle C$ и D – любая точка на BC

C) $\text{AD}$ не пересекает BC

D) Нет никакой связи

В данной задаче рассматривается треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $AD$ угла $A$. Известно, что стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$).

1. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $AC$.

2. $AD$ — это биссектриса угла $A$, который является углом при вершине равнобедренного треугольника (угол между боковыми сторонами).

3. Существует важное свойство равнобедренного треугольника: биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

4. Поскольку $AD$ является биссектрисой, проведенной к основанию $BC$, она также является и медианой.

5. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, точка $D$ является серединой стороны $BC$.

6. Если $D$ — середина $BC$, то она делит отрезок $BC$ на два равных отрезка: $BD$ и $DC$. Следовательно, $BD = DC$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A) BD = DC (биссектриса в равнобедренном треугольнике является медианой)

Этот вывод является прямым следствием свойства равнобедренного треугольника, которое мы рассмотрели. Утверждение и его обоснование верны.

B) ∠B = ∠C и D - любая точка на ВС

Первая часть утверждения, $\angle B = \angle C$, верна, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Однако вторая часть, что $D$ — любая точка на $BC$, неверна. Точка $D$ однозначно определена как точка пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$. Поэтому этот вариант в целом некорректен.

C) АД не пересекает ВС

Это утверждение прямо противоречит условию задачи, где сказано: "биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке D".

D) Нет никакой связи

Это утверждение неверно, так как между условиями задачи и выводом в пункте А существует четкая геометрическая связь, основанная на свойствах равнобедренного треугольника.

Таким образом, единственный правильный и полный вывод, который можно сделать из условий задачи, представлен в варианте А.

Ответ: A