Номер 3, страница 108 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. В каком случае можно утверждать, что «если один треугольник можно наложить на другой так, что все вершины совпадут, то эти треугольники равны»?

A) Всегда, при любом наложении фигур

B) Если при наложении совпадают три вершины, а сто-роны – нет

C) Это одна из геометрических интерпретаций равенства треугольников

D) Такого никогда не бывает

Вопрос касается фундаментального определения равенства (или, более строго, конгруэнтности) треугольников в евклидовой геометрии. Разберем утверждение, вынесенное в кавычки: «если один треугольник можно наложить на другой так, что все вершины совпадут, то эти треугольники равны».

Понятие «наложения» одной фигуры на другую является интуитивным способом описания конгруэнтности. Две геометрические фигуры называются равными (конгруэнтными), если одну из них можно переместить в пространстве так, чтобы она полностью совпала с другой. Такое перемещение, не изменяющее форму и размеры фигуры, называется движением или изометрией.

Если при наложении одного треугольника $ABC$ на другой треугольник $A'B'C'$ их вершины совпадают (то есть, вершина $A$ совпадает с $A'$, $B$ с $B'$, а $C$ с $C'$), то это означает, что и все остальные элементы треугольников также совпадут. Стороны треугольника — это отрезки, соединяющие его вершины. Если вершины совпали, то и отрезки, их соединяющие, тоже совпадут. Следовательно, стороны одного треугольника будут равны соответствующим сторонам другого: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $AC = A'C'$. Аналогично, углы при соответствующих вершинах также совпадут. Таким образом, полное совпадение вершин при наложении гарантирует полное совпадение треугольников, то есть их равенство.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

А) Всегда, при любом наложении фигур

Это утверждение слишком широкое. Само по себе утверждение в кавычках действительно является верным в рамках классической геометрии, но этот вариант ответа не объясняет, почему и в каком качестве оно верно. Он не раскрывает сути вопроса о статусе этого утверждения.

В) Если при наложении совпадают три вершины, а стороны – нет

Такая ситуация невозможна в принципе. Треугольник однозначно определяется положением своих трех вершин. Если все три вершины одного треугольника совпали с тремя вершинами другого, то их стороны, являющиеся отрезками между этими вершинами, также обязательно совпадут. Этот вариант описывает логическое противоречие.

С) Это одна из геометрических интерпретаций равенства треугольников

Этот вариант является наиболее точным. Утверждение, приведенное в вопросе, по сути, является определением равенства фигур через наложение. В школьном курсе геометрии именно так и вводится понятие равных фигур: две фигуры равны, если их можно совместить наложением. Формальные признаки равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам) являются лишь удобными практическими следствиями из этого фундаментального определения, позволяющими доказывать равенство без необходимости мысленного или физического «наложения». Таким образом, данное утверждение — это не просто какой-то факт, а одна из ключевых интерпретаций самого понятия равенства.

D) Такого никогда не бывает

Это неверно. Например, любой треугольник равен сам себе, и его можно «наложить» самого на себя так, что все вершины совпадут. Также можно построить два разных, но равных (конгруэнтных) треугольника, которые можно совместить наложением.

Таким образом, утверждение в кавычках является не теоремой, которую нужно доказывать из других аксиом, а скорее одним из основополагающих принципов, определяющих само понятие равенства в геометрии. Это его геометрическая интерпретация.

Ответ: C