Номер 9, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. В треугольнике $MPK$ $\angle M = \angle P$, биссектриса $\text{PC}$ делит сторону $\text{MK}$ пополам. Найдите длину стороны $\text{MP}$, если $MC = 9.6$ см.

A) 28,8 см

B) 19,2 см

C) 14,4 см

D) 4,8 см

Рассмотрим треугольник $MPK$. По условию, в этом треугольнике $\angle M = \angle P$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Сторона, лежащая напротив угла $M$, это $PK$. Сторона, лежащая напротив угла $P$, это $MK$. Таким образом, из равенства углов следует, что $PK = MK$.

Также по условию биссектриса $PC$, проведенная из вершины $P$, делит противоположную сторону $MK$ пополам в точке $C$. Это означает, что $PC$ является не только биссектрисой, но и медианой треугольника $MPK$.

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, является и медианой, то этот треугольник является равнобедренным относительно данной вершины. В нашем случае это означает, что стороны, образующие угол $P$, равны: $MP = PK$.

Мы получили два равенства: $PK = MK$ и $MP = PK$. Из этого следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $MP = PK = MK$. Следовательно, треугольник $MPK$ является равносторонним.

Поскольку точка $C$ является серединой стороны $MK$, длина стороны $MK$ равна удвоенной длине отрезка $MC$. Известно, что $MC = 9,6$ см.

Найдем длину стороны $MK$:

$MK = 2 \cdot MC = 2 \cdot 9,6 \text{ см} = 19,2 \text{ см}$.

Так как треугольник $MPK$ равносторонний, то $MP = MK$.

Значит, $MP = 19,2 \text{ см}$.

Ответ: 19,2 см.