Номер 10, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ равен 28 см. $\text{AC}$ - основание, $\text{BD}$ - высота этого треугольника, периметр треугольника $DBC$ равен 18 см. Найдите $\text{BD}$.

A) 4 см

B) 5 см

C) 8 см

D) 10 см

Обозначим стороны равнобедренного треугольника $ABC$ как $AB$, $BC$ и основание $AC$. Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, формулу периметра можно записать в виде: $P_{ABC} = 2 \cdot BC + AC$. По условию задачи, периметр равен 28 см: $2 \cdot BC + AC = 28$ см.

Высота $BD$, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это свойство означает, что точка $D$ является серединой основания $AC$. Следовательно, $AD = DC$, и длина всего основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $DC$: $AC = 2 \cdot DC$.

Подставим выражение $AC = 2 \cdot DC$ в уравнение периметра треугольника $ABC$: $2 \cdot BC + 2 \cdot DC = 28$. Разделив обе части этого уравнения на 2, получим: $BC + DC = 14$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $DBC$. Его периметр $P_{DBC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{DBC} = BD + BC + DC$. Из условия задачи известно, что $P_{DBC} = 18$ см. Таким образом, мы имеем уравнение: $BD + BC + DC = 18$ см.

В этом уравнении мы можем заменить сумму $(BC + DC)$ на ранее найденное значение, равное 14 см: $BD + 14 = 18$. Решив это простое уравнение относительно $BD$, найдем искомую длину высоты: $BD = 18 - 14 = 4$ см.

Ответ: 4 см.