Номер 7, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $\text{A}$ проведена биссектриса $\text{BK}$, равная 12 см. Найдите больший катет, если известно, что $BK = KC$.

А) 6 см

В) 12 см

С) 16 см

D) 18 см

По условию задачи, мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle A = 90^\circ$.

$BK$ — это биссектриса угла $\angle B$, поэтому она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$. Обозначим $\angle KBC = \alpha$, тогда $\angle ABC = 2\alpha$.

Из условия также известно, что $BK = KC$. Это означает, что треугольник $BKC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle KBC = \angle KCB$.

Поскольку $\angle KBC = \alpha$, то и $\angle KCB = \alpha$. Угол $\angle KCB$ совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$, значит, $\angle C = \alpha$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$ равна $90^\circ$:

$\angle B + \angle C = 90^\circ$

Подставим наши обозначения:

$2\alpha + \alpha = 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Теперь мы можем найти величины острых углов треугольника $ABC$:

$\angle C = \alpha = 30^\circ$

$\angle B = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Катетами треугольника являются стороны $AB$ и $AC$. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle B = 60^\circ$ больше, чем $\angle C = 30^\circ$, то катет $AC$ (лежащий напротив угла $B$) больше катета $AB$ (лежащего напротив угла $C$). Таким образом, $AC$ — это больший катет.

Длина катета $AC$ складывается из длин отрезков $AK$ и $KC$: $AC = AK + KC$.

Из условия $BK = KC$ и $BK = 12$ см, мы знаем, что $KC = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (т.к. $\angle A = 90^\circ$). В этом треугольнике:

- гипотенуза $BK = 12$ см;

- угол $\angle ABK = \alpha = 30^\circ$.

Катет $AK$ лежит напротив угла в $30^\circ$, а значит, он равен половине гипотенузы:

$AK = \frac{1}{2} \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину большего катета $AC$:

$AC = AK + KC = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: 18 см