Номер 8, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом В проведены биссектрисы $\text{AK}$ и $\text{CE}$. Найдите величину большего угла между эти биссектрисами.

A) $130^\circ$

B) $132^\circ$

C) $134^\circ$

D) $135^\circ$

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $B$ является прямым, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. В этом треугольнике проведены биссектрисы $AK$ (из угла $A$) и $CE$ (из угла $C$). Пусть точка $O$ — точка пересечения этих биссектрис.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается как:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

Поскольку $\angle ABC = 90^\circ$, мы можем найти сумму двух других углов:

$\angle BAC + 90^\circ + \angle BCA = 180^\circ$

$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$, образованный отрезками биссектрис и стороной $AC$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$:

$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$

По определению биссектрисы, $AK$ делит угол $BAC$ пополам, а $CE$ делит угол $BCA$ пополам. Следовательно, углы треугольника $AOC$ можно выразить через углы треугольника $ABC$:

$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC$

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов треугольника $AOC$:

$\frac{1}{2} \angle BAC + \frac{1}{2} \angle BCA + \angle AOC = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2} (\angle BAC + \angle BCA) + \angle AOC = 180^\circ$

Мы уже установили, что $\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{2} (90^\circ) + \angle AOC = 180^\circ$

$45^\circ + \angle AOC = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle AOC$:

$\angle AOC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

При пересечении двух прямых (в данном случае биссектрис) образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов имеет величину $\angle AOC = 135^\circ$. Другая пара углов является смежной к углам первой пары, и их величина равна $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, углы между биссектрисами равны $135^\circ$ и $45^\circ$. В задаче требуется найти величину большего угла, который равен $135^\circ$.

Ответ: D) 135°