Номер 5.35, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.35*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям.

Задача о построении общих касательных к двум данным окружностям решается с помощью метода вспомогательной окружности. Различают два вида общих касательных: внешние (когда обе окружности лежат по одну сторону от касательной) и внутренние (когда окружности лежат по разные стороны от касательной).

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. Без ограничения общности будем считать, что $R_1 \ge R_2$.

Анализ. Пусть прямая $l$ является внешней общей касательной, а $T_1$ и $T_2$ — точки касания с окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. Тогда радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ перпендикулярны прямой $l$, и, следовательно, параллельны друг другу. Построим через точку $O_2$ прямую, параллельную $l$, и из точки $O_1$ опустим на нее перпендикуляр $O_1P$. Четырехугольник, образованный точками касания и проекциями центров на касательную, можно свести к прямоугольному треугольнику. Проведем через $O_2$ прямую, параллельную касательной $l$. Эта прямая будет касаться вспомогательной окружности с центром $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$. Таким образом, задача сводится к построению касательной из точки $O_2$ к этой вспомогательной окружности.

Построение:

1. Соединяем центры окружностей отрезком $O_1O_2$.
2. Строим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 - R_2$. (Если $R_1=R_2$, радиус этой окружности равен нулю, и она вырождается в точку $O_1$. В этом случае внешние касательные параллельны линии центров $O_1O_2$ и находятся на расстоянии $R_1$ от нее).
3. Строим касательные из точки $O_2$ к окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Находим середину $M$ отрезка $O_1O_2$.
   • Строим окружность с центром $M$ и радиусом $MO_1$.
   • Точки пересечения этой окружности с окружностью $\omega_3$ (назовем их $P_1$ и $P_2$) являются точками касания для касательных, проведенных из $O_2$.
   Данное построение возможно, если расстояние между центрами $O_1O_2 \ge R_1 - R_2$.
4. Проводим лучи $O_1P_1$ и $O_1P_2$. Точки их пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ являются точками касания искомых касательных. Обозначим их $T_{1a}$ и $T_{1b}$.
5. Через точки $T_{1a}$ и $T_{1b}$ проводим прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные соответственно отрезкам $O_2P_1$ и $O_2P_2$. Эти прямые и есть искомые внешние касательные.
6. Точки касания $T_{2a}$ и $T_{2b}$ на окружности $\omega_2$ можно найти, проведя из центра $O_2$ радиусы, параллельные и сонаправленные радиусам $O_1T_{1a}$ и $O_1T_{1b}$.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет построить внешние общие касательные. Прямые $l_1$ и $l_2$ являются искомыми.

Анализ. Пусть прямая $l$ является внутренней общей касательной, а $T_1$ и $T_2$ — точки касания. Центры $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от $l$. Радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$ перпендикулярны $l$ и, следовательно, параллельны. Аналогично предыдущему случаю, задача сводится к построению касательной из точки $O_2$ к вспомогательной окружности. Однако, поскольку центры лежат по разные стороны, радиус вспомогательной окружности будет равен сумме радиусов исходных окружностей: $r = R_1 + R_2$.

Построение:

1. Соединяем центры окружностей отрезком $O_1O_2$.
2. Строим вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $r = R_1 + R_2$.
3. Строим касательные из точки $O_2$ к окружности $\omega_3$. Для этого, как и в предыдущем случае, находим середину $M$ отрезка $O_1O_2$, строим окружность с центром $M$ и радиусом $MO_1$, и находим ее точки пересечения $P_1, P_2$ с окружностью $\omega_3$. Построение возможно, если $O_1O_2 \ge R_1 + R_2$.
4. Проводим радиусы $O_1P_1$ и $O_1P_2$. Точки их пересечения с исходной окружностью $\omega_1$ являются точками касания искомых касательных. Обозначим их $T_{1a}$ и $T_{1b}$.
5. Через точки $T_{1a}$ и $T_{1b}$ проводим прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные соответственно отрезкам $O_2P_1$ и $O_2P_2$. Эти прямые и есть искомые внутренние касательные.
6. Точки касания $T_{2a}$ и $T_{2b}$ на окружности $\omega_2$ можно найти, проведя из центра $O_2$ радиусы, параллельные и направленные в противоположную сторону по отношению к радиусам $O_1T_{1a}$ и $O_1T_{1b}$.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет построить внутренние общие касательные. Прямые $l_1$ и $l_2$ являются искомыми.