Номер 5.30, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

Постройте точку, равноудаленную от этих прямых.

Пусть даны три попарно пересекающиеся прямые $l_1, l_2, l_3$, не проходящие через одну точку. Эти прямые образуют треугольник. Точка, равноудаленная от двух пересекающихся прямых, лежит на биссектрисе угла между ними. Следовательно, искомая точка, равноудаленная от всех трех прямых, должна лежать на пересечении биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Существует 4 таких точки, и их построение сводится к нахождению центров вписанной и вневписанных окружностей треугольника, образованного прямыми $l_1, l_2, l_3$.

1. Построение центра вписанной окружности (инцентра).

Эта точка является пересечением биссектрис внутренних углов треугольника. Для построения достаточно:

а) Выбрать две любые вершины треугольника.

б) Построить биссектрисы внутренних углов при этих вершинах.

в) Точка их пересечения является первой искомой точкой.

2. Построение центров вневписанных окружностей (эксцентров).

Таких точек три. Каждая из них является точкой пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов. Более простой способ построения:

а) Выбрать одну из сторон треугольника.

б) Построить биссектрисы двух внешних углов при вершинах, образующих эту сторону.

в) Точка их пересечения является центром вневписанной окружности, и это вторая искомая точка.

г) Повторив процедуру для двух других сторон треугольника, мы найдем третью и четвертую искомые точки.

Ответ: Искомые точки — это центр вписанной и три центра вневписанных окружностей треугольника, образованного данными прямыми. Построение заключается в нахождении точек пересечения биссектрис внутренних и внешних углов этого треугольника.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано выше, существует одна точка, являющаяся центром вписанной окружности (пересечение трех биссектрис внутренних углов), и три точки, являющиеся центрами трех вневписанных окружностей (каждая — точка пересечения одной биссектрисы внутреннего и двух биссектрис внешних углов). Каждая из этих четырех точек равноудалена от трех данных прямых.

Ответ: Задача имеет 4 решения.