Номер 5.21, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины угла, делят соответствующий угол на три равные части. Докажите, что треугольник – прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором из вершины $A$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$ к стороне $BC$. По условию задачи, эти линии делят угол $\angle BAC$ на три равные части.

Обозначим эти равные углы через $\alpha$. То есть, $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = \alpha$. Таким образом, весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 3\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $AH$ — высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому угол $\angle B$ (или $\angle ABH$) равен: $\angle B = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - \alpha$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ ($\angle AHC = 90^\circ$). Угол $\angle CAH$ складывается из двух частей: $\angle CAH = \angle HAM + \angle MAC = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Тогда угол $\angle C$ (или $\angle ACH$) равен: $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Нам известны два его угла:

• $\angle B = 90^\circ - \alpha$
• $\angle BAM = \angle BAH + \angle HAM = \alpha + \alpha = 2\alpha$

В треугольнике $ABM$ мы получили, что $\angle B = 90^\circ - \alpha$ и $\angle AMB = 90^\circ - \alpha$. Так как два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = AM$.

По определению, $AM$ является медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $BC$, и $BM = MC$. Применим теорему синусов для треугольников $ABM$ и $ACM$.

Для $\triangle ABM$: $\frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)} \implies \frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{AM}{\cos\alpha}$. Отсюда выразим $BM$: $BM = \frac{AM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{AM \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2AM\sin\alpha$.

Для $\triangle ACM$: $\frac{CM}{\sin(\angle MAC)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)} \implies \frac{CM}{\sin\alpha} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} = \frac{AM}{\cos(2\alpha)}$. Отсюда выразим $CM$: $CM = \frac{AM \sin\alpha}{\cos(2\alpha)}$.

Так как $BM = CM$, приравняем полученные выражения: $2AM\sin\alpha = \frac{AM \sin\alpha}{\cos(2\alpha)}$.

Для невырожденного треугольника длина медианы $AM \neq 0$ и угол $\alpha \neq 0$. Поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $AM\sin\alpha$: $2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)}$. Отсюда получаем $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.

Угол $2\alpha$ ($\angle CAH$) является острым углом в прямоугольном треугольнике, поэтому $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в этом интервале — это $2\alpha = 60^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $\angle BAC$: $\angle BAC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Поскольку один из углов треугольника $ABC$ равен $90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.