Номер 5.18, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ лежат по одну сторону от прямой $\text{a}$. Перпендикуляры $\text{AN}$ и $\text{BK}$ к прямой $\text{a}$ равны. Отрезки $\text{AK}$ и $\text{BN}$ пересекаются в точке $\text{O}$. Докажите, что точка $\text{O}$ равноудалена от точек $\text{A}$, $\text{N}$, $\text{K}$ и $\text{B}$.

Рассмотрим четырехугольник ANKB.

По условию задачи, отрезки AN и BK являются перпендикулярами к прямой a. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу, следовательно, $AN \parallel BK$.

Также по условию дано, что длины этих перпендикуляров равны: $AN = BK$.

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, ANKB — параллелограмм.

Поскольку AN — перпендикуляр к прямой a, а точки N и K лежат на этой прямой, то угол $\angle ANK$ является прямым, то есть $\angle ANK = 90^\circ$.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник ANKB — это прямоугольник.

Отрезки AK и BN — это диагонали прямоугольника ANKB, и по условию они пересекаются в точке O. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AK = BN$ и точка O является серединой как AK, так и BN.

Из того, что O — середина AK, следует $OA = OK = \frac{1}{2}AK$. Из того, что O — середина BN, следует $OB = ON = \frac{1}{2}BN$.

Так как $AK = BN$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}AK = \frac{1}{2}BN$. Объединяя все равенства, получаем: $OA = OK = OB = ON$.

Это и означает, что точка О равноудалена от точек A, N, K и B, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка O равноудалена от точек A, N, K и B. Это следует из того, что четырехугольник ANKB является прямоугольником. Точка O, являясь точкой пересечения его диагоналей, является центром описанной около этого прямоугольника окружности. Следовательно, расстояния от O до всех вершин прямоугольника (A, N, K, B) равны, то есть $OA = ON = OK = OB$.