Номер 5.13, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором из вершины $B$ к стороне $AC$ проведена медиана $BM$. Обозначим длину медианы $BM$ как $m_b$, длину стороны $AC$ как $b$, и угол при вершине $B$ как $\angle ABC = \beta$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, следовательно, $AM = MC = b/2$.

Для доказательства достроим треугольник до параллелограмма. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$, так что $BM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $A$ и $C$. В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны ($AD = BC$, $CD = AB$), а сумма соседних углов равна $180^\circ$ ($\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \beta$). Длина диагонали $BD$ равна $BM + MD = 2BM = 2m_b$.

Применим теорему косинусов к треугольникам $ABC$ и $ABD$.

Для треугольника $ABC$ (относительно стороны $AC$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(\angle ABC)$

$b^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(\beta)$ (1)

Для треугольника $ABD$ (относительно стороны $BD$):

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD)\cos(\angle DAB)$

Так как $AD = BC$ и $\angle DAB = 180^\circ - \beta$, подставляем эти значения:

$(2m_b)^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(180^\circ - \beta)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos(\beta)$, получаем:

$4m_b^2 = AB^2 + BC^2 + 2(AB)(BC)\cos(\beta)$ (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$4m_b^2 - b^2 = (AB^2 + BC^2 + 2(AB)(BC)\cos(\beta)) - (AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(\beta))$

$4m_b^2 - b^2 = 4(AB)(BC)\cos(\beta)$

Разделив обе части на 4, получим ключевое соотношение:

$m_b^2 - \frac{b^2}{4} = (AB)(BC)\cos(\beta)$

Поскольку длины сторон $AB$ и $BC$ положительны, их произведение $(AB)(BC)$ также положительно. Это означает, что знак выражения в левой части ($m_b^2 - b^2/4$) совпадает со знаком $\cos(\beta)$. В свою очередь, знак $\cos(\beta)$ определяет тип угла $\beta$ (острый, прямой или тупой), а знак выражения $m_b^2 - b^2/4$ определяется соотношением между $m_b$ и $b/2$.

Теперь рассмотрим три случая, указанные в условии задачи.

Угол является острым, если медиана больше половины противоположной стороны

Если медиана больше половины противоположной стороны, то $m_b > b/2$. Так как обе величины положительны, можно возвести их в квадрат: $m_b^2 > (b/2)^2$, или $m_b^2 - b^2/4 > 0$. Из выведенного нами соотношения $m_b^2 - \frac{b^2}{4} = (AB)(BC)\cos(\beta)$ следует, что $(AB)(BC)\cos(\beta) > 0$. Так как $(AB)(BC) > 0$, то $\cos(\beta) > 0$. Для угла $\beta$ в треугольнике ($0^\circ < \beta < 180^\circ$) положительное значение косинуса означает, что угол является острым ($0^\circ < \beta < 90^\circ$). Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

Угол является прямым, если медиана равна половине противоположной стороны

Если медиана равна половине противоположной стороны, то $m_b = b/2$. Возводя в квадрат, получаем $m_b^2 = (b/2)^2$, или $m_b^2 - b^2/4 = 0$. Из соотношения $m_b^2 - \frac{b^2}{4} = (AB)(BC)\cos(\beta)$ следует, что $(AB)(BC)\cos(\beta) = 0$. Так как длины сторон $AB$ и $BC$ не равны нулю, их произведение $(AB)(BC)$ также не равно нулю. Следовательно, $\cos(\beta) = 0$. Для угла $\beta$ в треугольнике это означает, что угол является прямым ($\beta = 90^\circ$). Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

Угол является тупым, если медиана меньше половины противоположной стороны

Если медиана меньше половины противоположной стороны, то $m_b < b/2$. Возводя в квадрат, получаем $m_b^2 < (b/2)^2$, или $m_b^2 - b^2/4 < 0$. Из соотношения $m_b^2 - \frac{b^2}{4} = (AB)(BC)\cos(\beta)$ следует, что $(AB)(BC)\cos(\beta) < 0$. Так как $(AB)(BC) > 0$, то $\cos(\beta) < 0$. Для угла $\beta$ в треугольнике отрицательное значение косинуса означает, что угол является тупым ($90^\circ < \beta < 180^\circ$). Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.