Номер 5.9, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9*. Два населенных пункта $\text{A}$ и $\text{B}$ находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге следует расположить автобусную остановку $\text{C}$, чтобы сумма расстояний $AC + BC$ была наименьшей?

Пусть населенные пункты – это точки A и B, а прямая дорога – это линия l. Точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Нам нужно найти на прямой l такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC + BC была минимальной.

Для решения этой задачи воспользуемся методом осевой симметрии. Построим точку B', симметричную точке B относительно прямой l. По определению осевой симметрии, для любой точки C, лежащей на прямой l (оси симметрии), расстояния от нее до симметричных точек равны. То есть, BC = B'C.

Таким образом, задачу минимизации суммы AC + BC можно свести к задаче минимизации суммы AC + B'C. Выражение, которое мы хотим минимизировать, имеет вид: $S = AC + BC = AC + B'C$.

Теперь у нас есть две фиксированные точки A и B' и точка C на прямой l. Сумма расстояний AC + B'C будет наименьшей, когда точки A, C и B' лежат на одной прямой. Это следует из неравенства треугольника: для любого треугольника ACB' (если точки не лежат на одной прямой) выполняется AC + B'C > AB'. Если же точки A, C и B' лежат на одной прямой, то AC + B'C = AB'. Кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка, их соединяющего.

Следовательно, чтобы сумма AC + B'C (а значит и AC + BC) была наименьшей, точка C должна быть точкой пересечения отрезка AB' с прямой l.

Ответ: Автобусную остановку C следует расположить в точке пересечения прямой дороги с отрезком, соединяющим один из населенных пунктов (например, A) с точкой (B'), симметричной другому населенному пункту (B) относительно дороги.