Номер 5.4, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. На рисунке 5.2 $\text{KP}$ и $\text{ME}$ – высоты треугольника $KLM$. При помощи только линейки постройте высоту $\text{LX}$ этого треугольника. Найдите угол $\angle XLM$, если $KP = LX$, $MP = MX$ и $\angle PKM = 27^\circ$.

Рис. 5.2

При помощи только линейки постройте высоту LX этого треугольника.

Известно, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. В треугольнике $KLM$ уже проведены две высоты: $KP$ и $ME$. Их точка пересечения является ортоцентром данного треугольника. Обозначим её $H$.

Третья высота $LX$ также должна проходить через ортоцентр $H$.

Таким образом, для построения высоты $LX$ с помощью одной лишь линейки, необходимо сначала найти точку пересечения $H$ прямых $KP$ и $ME$. Затем следует провести прямую через вершину $L$ и найденную точку $H$. Точка, в которой эта прямая пересечет сторону $KM$, и будет искомой точкой $X$.

Ответ: Необходимо найти точку $H$ — пересечение прямых $KP$ и $ME$, после чего провести прямую через точки $L$ и $H$. Точка пересечения этой прямой со стороной $KM$ и есть точка $X$.

Найдите угол XLM, если $KP = LX$, $MP = MX$ и $\angle PKM = 27^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KPM$. Так как $KP$ — высота, то $\angle KPM = 90^\circ$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle PKM) = \frac{PM}{KP}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle LXM$. Так как $LX$ — высота, то $\angle LXM = 90^\circ$. По определению тангенса:

$\tan(\angle XLM) = \frac{MX}{LX}$.

По условию задачи известно, что $KP = LX$ и $MP = MX$. Подставим эти равенства в выражение для тангенса угла $\angle XLM$:

$\tan(\angle XLM) = \frac{MX}{LX} = \frac{MP}{KP}$.

Сравнивая полученные выражения для тангенсов, приходим к выводу, что:

$\tan(\angle XLM) = \tan(\angle PKM)$.

Поскольку $\angle XLM$ и $\angle PKM$ являются острыми углами в прямоугольных треугольниках, из равенства их тангенсов следует и равенство самих углов:

$\angle XLM = \angle PKM$.

По условию $\angle PKM = 27^\circ$.

Следовательно, $\angle XLM = 27^\circ$.

Ответ: $27^\circ$.