Номер 5.1, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Зная, что $AB = 8$, $\text{K}$ – середина отрезка $\text{AB}$, найдите на прямой $\text{AB}$ все такие точки $\text{X}$, чтобы выполнялось равенство $AX + BX + KX = 9$. Изобразите эти точки на рисунке.

Для решения задачи введем на прямой AB систему координат. Пусть точка K, середина отрезка AB, является началом координат, то есть ее координата равна 0. Так как длина отрезка $AB = 8$, а K — его середина, то $AK = KB = \frac{8}{2} = 4$. Тогда точка A будет иметь координату -4, а точка B — координату 4.

Пусть искомая точка X имеет координату x. Тогда расстояния AX, BX и KX можно выразить через координаты точек с помощью модуля разности координат:

$AX = |x_A - x| = |-4 - x| = |-(x+4)| = |x+4|$

$BX = |x_B - x| = |4 - x| = |x-4|$

$KX = |x_K - x| = |0 - x| = |-x| = |x|$

Подставим эти выражения в исходное равенство $AX + BX + KX = 9$:

$|x+4| + |x-4| + |x| = 9$

Для решения этого уравнения с модулями рассмотрим четыре случая, в зависимости от знака выражений под модулями. Ключевые точки, в которых выражения меняют знак, это $x = -4$, $x = 0$ и $x = 4$.

1. Случай, когда $x \le -4$:

В этом случае $x+4 \le 0$, $x-4 < 0$, $x < 0$. Следовательно, $|x+4| = -(x+4)$, $|x-4| = -(x-4)$ и $|x| = -x$.

Уравнение принимает вид:

$-(x+4) - (x-4) - x = 9$

$-x - 4 - x + 4 - x = 9$

$-3x = 9$

$x = -3$

Полученное значение $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \le -4$, следовательно, в этом промежутке решений нет.

2. Случай, когда $-4 < x \le 0$:

В этом случае $x+4 > 0$, $x-4 < 0$, $x \le 0$. Следовательно, $|x+4| = x+4$, $|x-4| = -(x-4)$ и $|x| = -x$.

Уравнение принимает вид:

$(x+4) - (x-4) - x = 9$

$x + 4 - x + 4 - x = 9$

$8 - x = 9$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет условию $-4 < x \le 0$, следовательно, это одно из решений. Обозначим эту точку $X_1$.

3. Случай, когда $0 < x < 4$:

В этом случае $x+4 > 0$, $x-4 < 0$, $x > 0$. Следовательно, $|x+4| = x+4$, $|x-4| = -(x-4)$ и $|x| = x$.

Уравнение принимает вид:

$(x+4) - (x-4) + x = 9$

$x + 4 - x + 4 + x = 9$

$8 + x = 9$

$x = 1$

Полученное значение $x = 1$ удовлетворяет условию $0 < x < 4$, следовательно, это второе решение. Обозначим эту точку $X_2$.

4. Случай, когда $x \ge 4$:

В этом случае $x+4 > 0$, $x-4 \ge 0$, $x > 0$. Следовательно, $|x+4| = x+4$, $|x-4| = x-4$ и $|x| = x$.

Уравнение принимает вид:

$(x+4) + (x-4) + x = 9$

$x + 4 + x - 4 + x = 9$

$3x = 9$

$x = 3$

Полученное значение $x = 3$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, в этом промежутке решений нет.

Таким образом, мы нашли две точки $X_1$ и $X_2$ с координатами -1 и 1. Обе точки лежат на отрезке AB и расположены симметрично относительно его середины K на расстоянии 1 от нее ($KX_1 = |-1-0|=1$, $KX_2 = |1-0|=1$).

Изобразим эти точки на прямой:

Ответ: Существуют две такие точки. Они расположены на отрезке $AB$ симметрично относительно его середины $K$ на расстоянии 1 от нее. Если принять $K$ за начало координат, а точки $A$ и $B$ за -4 и 4 соответственно, то координаты искомых точек будут -1 и 1.