Номер 6, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Доказать: $AA_1 = BB_1$.

Доказательство:

Рассмотрим угол, в который вписаны две окружности. Обозначим вершину этого угла буквой C (не показана на рисунке, но подразумевается как точка пересечения лучей, на которых лежат отрезки $CA_1$ и $CB_1$).

Используем основное свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенных из одной внешней точки к окружности, равны между собой.

1. Применим это свойство к меньшей окружности с центром O и внешней точке C. Отрезки CA и CB являются касательными к этой окружности, проведенными из точки C. Следовательно, их длины равны:

$CA = CB$

2. Теперь применим то же свойство к большей окружности с центром O₁ и той же внешней точке C. Отрезки CA₁ и CB₁ являются касательными к этой окружности, проведенными из точки C. Следовательно, их длины также равны:

$CA_1 = CB_1$

3. Из чертежа видно, что точка A лежит на отрезке CA₁, а точка B лежит на отрезке CB₁. Мы можем выразить длины отрезков AA₁ и BB₁ как разности длин других отрезков:

Длина отрезка AA₁ равна разности длин отрезков CA₁ и CA:

$AA_1 = CA_1 - CA$

Длина отрезка BB₁ равна разности длин отрезков CB₁ и CB:

$BB_1 = CB_1 - CB$

4. В выражении для $AA_1$ заменим $CA_1$ на $CB_1$ (согласно пункту 2) и $CA$ на $CB$ (согласно пункту 1):

$AA_1 = CA_1 - CA = CB_1 - CB$

Мы видим, что полученное выражение $CB_1 - CB$ в точности равно выражению для длины отрезка $BB_1$.

Таким образом, мы доказали, что:

$AA_1 = BB_1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AA_1 = BB_1$ доказано на основе свойства равенства касательных, проведенных к окружности из одной точки.