Номер 3, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3. Дано: $\overset{\frown}{AB}$, $AO = 16 \text{ см.}$

Найти $\text{BD}$.

По условию задачи, нам дана окружность с центром в точке O. Отрезки OA и OB являются радиусами этой окружности. Длина радиуса AO равна 16 см, следовательно, $OA = OB = 16$ см.

Градусная мера дуги $\overline{AB}$ составляет 60°. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на эту дугу, поэтому его величина равна градусной мере дуги: $\angle AOB = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как две его стороны, OA и OB, являются радиусами, они равны между собой. Значит, $\triangle AOB$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 60° углы при основании также равны по 60°, поскольку $(180° - 60°) / 2 = 60°$. Таким образом, $\triangle AOB$ является равносторонним, и все его стороны равны: $OA = OB = AB = 16$ см.

На рисунке показано, что из точки A опущен перпендикуляр AD на радиус OB. Следовательно, треугольник $\triangle ODA$ является прямоугольным, где $\angle ODA = 90°$, а гипотенузой является отрезок OA.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ODA$ нам известны гипотенуза $OA = 16$ см и прилежащий к катету OD угол $\angle AOD$, который совпадает с углом $\angle AOB$ и равен 60°. Для нахождения длины катета OD воспользуемся определением косинуса:

$\cos(\angle AOD) = \frac{OD}{OA}$

Подставим известные значения:

$\cos(60°) = \frac{OD}{16}$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получим:

$\frac{1}{2} = \frac{OD}{16}$

Отсюда находим длину отрезка OD:

$OD = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Искомый отрезок BD является частью радиуса OB. Длина всего радиуса OB равна 16 см. Так как точка D лежит на отрезке OB, то $OB = OD + BD$. Выразим отсюда BD:

$BD = OB - OD$

Подставим найденные значения:

$BD = 16 - 8 = 8$ см.

Ответ: 8 см.