Номер 4.74, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.74*. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $\text{A}$. На стороне $\text{AB}$ постройте точку $\text{K}$, находящуюся на расстоянии $\text{AK}$ от прямой $\text{BC}$.

Анализ

Пусть $K$ – искомая точка на стороне $AB$. По условию задачи, расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $AK$. Обозначим это расстояние как $d(K, BC)$. Таким образом, $d(K, BC) = AK$.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $KH$ – перпендикуляр из точки $K$ на прямую $BC$ ($H \in BC$, $KH \perp BC$). Тогда по условию $KH = AK$.

Рассмотрим расстояние от точки $K$ до прямой $AC$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $A$, то сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AC$ ($AB \perp AC$). Так как точка $K$ лежит на стороне $AB$, то отрезок $AK$ является перпендикуляром из точки $K$ к прямой $AC$. Следовательно, расстояние от точки $K$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $AK$, то есть $d(K, AC) = AK$.

Из этого следует, что $d(K, BC) = d(K, AC)$. Это означает, что точка $K$ равноудалена от прямых $BC$ и $AC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть биссектрисы углов, образованных этими прямыми. Поскольку точка $K$ должна лежать на стороне $AB$, то есть внутри угла $BCA$, она должна принадлежать биссектрисе внутреннего угла $C$ треугольника $ABC$.

Таким образом, искомая точка $K$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ и стороны $AB$.

Построение

1. Построим биссектрису угла $C$ треугольника $ABC$.

2. Эта биссектриса пересечет противолежащую сторону $AB$ в некоторой точке.

3. Обозначим эту точку пересечения как $K$.

Точка $K$ является искомой.

Доказательство

По построению, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $C$ и на стороне $AB$.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон этого угла. Следовательно, точка $K$ равноудалена от прямых $AC$ и $BC$. Это означает, что $d(K, AC) = d(K, BC)$.

Расстояние от точки $K$, лежащей на прямой $AB$, до прямой $AC$ равно длине отрезка $AK$, так как $\angle A = 90^\circ$ и, следовательно, $AB \perp AC$. То есть, $d(K, AC) = AK$.

Из двух предыдущих утверждений следует, что $d(K, BC) = AK$.

Это в точности соответствует условию задачи. Следовательно, построенная точка $K$ является искомой.

Ответ: Искомая точка $K$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$.