Номер 4.69, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.69. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $15^\circ$;

4) $135^\circ$;

5) $75^\circ$.

Для решения всех пунктов задачи используются два основных построения с помощью циркуля и линейки: построение угла в $60^\circ$ и построение биссектрисы угла (деление угла пополам).

Угол в $30^\circ$ получается путем деления пополам угла в $60^\circ$.

1. Сначала построим угол в $60^\circ$. Проведем луч $OA$. Из точки $O$ циркулем проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет луч в точке $P$. Затем, не меняя радиуса, из точки $P$ проведем еще одну дугу, которая пересечет первую в точке $B$. Угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$.

2. Теперь построим биссектрису угла $\angle AOB$. Из точек $P$ и $B$ (точек пересечения дуги со сторонами угла) проведем две новые дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке $C$.

3. Проведем луч $OC$. Этот луч делит угол $\angle AOB$ пополам.

Полученный угол $\angle AOC$ равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.

Построение угла в $60^\circ$ основано на построении равностороннего треугольника.

1. Проведем произвольный луч $OA$.

2. Из его начала, точки $O$, как из центра, проведем дугу окружности произвольного радиуса $r$. Точку пересечения дуги с лучом назовем $P$.

3. Тем же радиусом $r$ проведем дугу с центром в точке $P$. Она пересечет первую дугу в точке $B$.

4. Проведем луч $OB$.

Угол $\angle AOB$ является искомым. Треугольник $\triangle OPB$ равносторонний (по построению $OP=OB=PB=r$), поэтому все его углы, включая $\angle AOB$, равны $60^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.

Угол в $15^\circ$ получается путем деления пополам угла в $30^\circ$, так как $15^\circ = \frac{30^\circ}{2}$.

1. Строим угол $\angle AOC = 30^\circ$, как это описано в пункте 1.

2. Строим биссектрису угла $\angle AOC$. Дуга, проведенная из точки $O$, уже пересекает стороны $OA$ и $OC$. Обозначим эти точки пересечения $P$ и $Q$.

3. Из точек $P$ и $Q$ проведем две новые дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке $D$.

4. Проведем луч $OD$.

Полученный угол $\angle AOD$ равен $\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.

Угол в $135^\circ$ можно получить, сложив углы $90^\circ$ и $45^\circ$, то есть $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

1. Проведем прямую и отметим на ней точку $O$.

2. Построим перпендикуляр к прямой в точке $O$, получив прямой угол $90^\circ$. Для этого проведем из $O$ окружность, пересекающую прямую в двух точках $M$ и $N$. Затем из $M$ и $N$ проведем дуги одинакового радиуса (большего, чем $OM$) до их пересечения в точке $B$. Луч $OB$ перпендикулярен прямой $MN$. Пусть $A$ - точка на луче, исходящем из $O$ и лежащем на исходной прямой. Тогда $\angle AOB = 90^\circ$.

3. На прямой $MN$ угол $\angle A'OB$ (где $A'$ - точка на прямой с другой стороны от $O$) также равен $90^\circ$.

4. Построим биссектрису угла $\angle A'OB$. Пусть это будет луч $OC$. Тогда $\angle BOC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle AOC$ является суммой углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Его величина равна $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.

Угол в $75^\circ$ можно построить, представив его как сумму $60^\circ + 15^\circ$ или разность $90^\circ - 15^\circ$. Воспользуемся комбинированным методом.

1. Построим прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$, как это описано в пункте 4.

2. На луче $OA$ как на стороне построим угол $\angle AOC = 60^\circ$ (как в пункте 2) так, чтобы луч $OC$ оказался внутри угла $\angle AOB$.

3. Теперь угол $\angle COB$ равен разности $\angle AOB - \angle AOC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

4. Построим биссектрису угла $\angle COB$. Пусть это будет луч $OD$. Угол $\angle COD$ будет равен $\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Искомый угол $\angle AOD$ является суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COD$. Его величина равна $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.

Ответ: Построение выполнено.