Номер 4.64, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.64. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Для решения этой задачи выполним анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть нам даны сторона $AB = c$, угол $∠BAC = \alpha$ и сумма двух других сторон $AC + BC = s$.

На луче $AC$ отложим отрезок $AD$ так, чтобы его длина была равна $s$. То есть, $AD = AC + CD = s$. Поскольку по условию $AC + BC = s$, то $CD = BC$.

Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($∠CBD = ∠CDB$), а вершина $C$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $BD$.

Таким образом, мы можем построить вспомогательный треугольник $ABD$, в котором нам известны две стороны ($AB=c$ и $AD=s$) и угол между ними ($∠BAD = \alpha$). Найдя точку $C$ как пересечение стороны $AD$ и серединного перпендикуляра к стороне $BD$, мы получим искомый треугольник $ABC$.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.
2. От луча $AB$ в одной полуплоскости построим угол $BAM$, равный данному углу $\alpha$.
3. На луче $AM$ отложим отрезок $AD$, длина которого равна данной сумме сторон $s$.
4. Соединим точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра со стороной $AD$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединим точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB$ построена равной заданной стороне $c$ по шагу 1.
• Угол $∠BAC$ (совпадающий с $∠BAD$) построен равным заданному углу $\alpha$ по шагу 2.
• Докажем, что сумма сторон $AC + BC$ равна $s$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$ (по шагу 6). По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $CB = CD$. Точка $C$ также лежит на отрезке $AD$ (по шагу 6). Таким образом, $AD = AC + CD$. Заменяя $CD$ на равный ему отрезок $CB$, получаем $AD = AC + CB$. По шагу 3, мы построили $AD = s$. Следовательно, $AC + BC = s$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно выполнить все шаги построения. Ключевым моментом является существование и единственность точки $C$.

Точка $C$ является пересечением луча $AM$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$. Такое пересечение существует и единственно, если эти две прямые не параллельны.

Для построения треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника, в частности, $AC + BC > AB$, что эквивалентно $s > c$.

• Если $s > c$, то в треугольнике $ABD$ сторона $AD$ больше стороны $AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит $∠ABD > ∠ADB$. Это гарантирует, что серединный перпендикуляр к $BD$ пересечет сторону $AD$ во внутренней точке, и решение существует и единственно.
• Если $s = c$, то треугольник $ABD$ равнобедренный ($AB=AD$). Серединный перпендикуляр к основанию $BD$ является также биссектрисой угла $A$ и медианой, поэтому он пройдет через точку $A$. Точка $C$ совпадет с точкой $A$, и треугольник $ABC$ вырождается в отрезок. Решения нет.
• Если $s < c$, то $AC+BC < AB$, что противоречит неравенству треугольника. Решения нет. (В этом случае серединный перпендикуляр к $BD$ пересечет прямую $AD$ за пределами отрезка $AD$).

Также предполагается, что заданный угол $0 < \alpha < 180^\circ$.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному алгоритму. Задача имеет единственное решение при выполнении условий $s > c$ и $0 < \alpha < 180^\circ$.