Номер 4.63, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.63. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

Пусть искомый треугольник — это $ABC$, где задана сторона $AB = c$, прилежащий к ней угол $∠BAC = α$ и разность двух других сторон $|AC - BC| = d$. Задача имеет два возможных случая в зависимости от того, какая из сторон ($AC$ или $BC$) больше.

Случай 1: Сторона, прилежащая к данному углу, больше другой стороны ($AC > BC$)

В этом случае задана разность $AC - BC = d$.

Анализ и построение:

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На стороне $AC$ отложим точку $D$ так, что $AD = d$. Тогда $DC = AC - AD = AC - d$. Из условия задачи $AC - BC = d$, следует, что $BC = AC - d$. Сравнивая эти два выражения, получаем, что $DC = BC$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным, а вершина $C$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, точка $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Также точка $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ под углом $α$ к стороне $AB$.

Это приводит к следующему алгоритму построения:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ в точке $A$ отложить угол, равный $α$, построив луч $l$.
3. На луче $l$ отложить отрезок $AD$ длиной $d$.
4. Соединить точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $l$ является искомой вершиной $C$.
7. Соединить точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ и угол $∠BAC$ по построению равны заданным. Так как точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, то $CB = CD$. Точки $A$, $D$, $C$ лежат на одном луче $l$, причем точка $D$ находится между $A$ и $C$. Следовательно, $AC = AD + DC$. Заменяя $AD$ на $d$ (по построению) и $DC$ на $BC$ (из доказанного равенства), получаем $AC = d + BC$, что равносильно $AC - BC = d$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Описанный алгоритм построения решает задачу для случая, когда сторона, прилежащая к данному углу, больше другой стороны. Для существования невырожденного треугольника необходимо выполнение условия $c > d$.

Случай 2: Сторона, противолежащая данному углу, больше прилежащей стороны ($BC > AC$)

В этом случае задана разность $BC - AC = d$.

Анализ и построение:

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На продолжении стороны $AC$ за точку $A$ отложим точку $D$ так, что $AD = d$. Тогда $DC = DA + AC = d + AC$. Из условия задачи $BC - AC = d$, следует, что $BC = d + AC$. Сравнивая эти два выражения, получаем, что $BC = DC$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным, и вершина $C$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, точка $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Как и в первом случае, точка $C$ также лежит на луче, выходящем из точки $A$ под углом $α$ к стороне $AB$.

Это приводит к следующему алгоритму построения:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ в точке $A$ отложить угол, равный $α$, построив луч $l$.
3. Построить луч $l'$, дополнительный к лучу $l$.
4. На луче $l'$ отложить отрезок $AD$ длиной $d$.
5. Соединить точки $B$ и $D$ отрезком.
6. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
7. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $l$ является искомой вершиной $C$.
8. Соединить точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ и угол $∠BAC$ по построению равны заданным. Так как точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, то $CB = CD$. Точки $D$, $A$, $C$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между $D$ и $C$. Следовательно, $DC = DA + AC$. Заменяя $DA$ на $d$ (по построению) и $DC$ на $BC$ (из доказанного равенства), получаем $BC = d + AC$, что равносильно $BC - AC = d$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Описанный алгоритм построения решает задачу для случая, когда сторона, противолежащая данному углу, больше прилежащей стороны. Для существования невырожденного треугольника необходимо выполнение условия $c > d$.