Номер 4.67, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.67. Даны прямая $\text{a}$ и отрезок $\text{AB}$. Постройте прямую $\text{m}$, параллельную прямой $\text{a}$ так, чтобы расстояние между прямыми $\text{a}$ и $\text{m}$ было равно длине отрезка $\text{AB}$.

Это задача на построение, которая решается с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить прямую $m$, параллельную данной прямой $a$ на расстоянии, равном длине отрезка $AB$, необходимо выполнить следующую последовательность шагов.

Сначала выберем на прямой $a$ любую точку $C$. Через эту точку нужно провести прямую, перпендикулярную прямой $a$. Для этого с помощью циркуля построим окружность с центром в точке $C$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, назовем их $D$ и $E$. Затем, установив на циркуле одинаковый радиус (больший, чем половина длины отрезка $DE$), проведем две дуги с центрами в точках $D$ и $E$ так, чтобы они пересеклись. Пусть одна из точек пересечения дуг — точка $F$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $F$, будет перпендикулярна прямой $a$. Обозначим эту перпендикулярную прямую как $p$.

Далее измерим циркулем длину отрезка $AB$. Установив острие циркуля в точку $C$, отложим на прямой $p$ отрезок, равный длине $AB$. Для этого проведем дугу окружности с центром в $C$ и радиусом, равным длине $AB$. Эта дуга пересечет прямую $p$ в некоторой точке $M$. Таким образом, мы получили точку $M$, расстояние от которой до прямой $a$ равно длине отрезка $AB$ (поскольку отрезок $CM$ лежит на перпендикуляре к прямой $a$, т.е. $CM \perp a$, и по построению его длина $CM = AB$).

Теперь осталось построить прямую $m$, которая проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$. Так как у нас уже есть прямая $p$, перпендикулярная $a$, то любая прямая, перпендикулярная $p$, будет параллельна $a$. Поэтому построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $p$. Эта процедура аналогична построению первого перпендикуляра. Проведем окружность с центром в $M$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую $p$ в двух точках, $G$ и $H$. Затем проведем две пересекающиеся дуги равного радиуса с центрами в $G$ и $H$. Прямая, проходящая через точку $M$ и точку пересечения этих дуг, и будет искомой прямой $m$.

Таким образом, мы построили прямую $m$. Она параллельна прямой $a$, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой $p$. Расстояние между прямыми $a$ и $m$ равно длине отрезка $CM$, который по построению равен длине отрезка $AB$. Стоит отметить, что на прямой $p$ можно было выбрать точку $M$ по другую сторону от прямой $a$, что дало бы вторую прямую, также удовлетворяющую условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения искомой прямой $m$ описан выше. Он заключается в построении перпендикуляра к прямой $a$, откладывании на нем отрезка, равного длине отрезка $AB$, и проведении через конец этого отрезка прямой, параллельной $a$.