Номер 4.61, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.61. На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух заданных точек.

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек. Решение можно разбить на четыре стандартных этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть дана прямая $l$ и две точки $A$ и $B$. Нам необходимо найти такую точку $X$ на прямой $l$, что расстояние от $X$ до $A$ равно расстоянию от $X$ до $B$, то есть $XA = XB$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m$. Поскольку искомая точка $X$ должна быть равноудалена от $A$ и $B$, она должна лежать на прямой $m$. Также по условию задачи точка $X$ должна лежать на данной прямой $l$. Следовательно, искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$.

Построение

Построение выполняется в три шага. Шаг 1: Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком. Шаг 2: Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса (большего половины длины $AB$) так, чтобы они пересеклись в двух точках. Прямая, проходящая через эти две точки пересечения, и является серединным перпендикуляром $m$. Шаг 3: Находим точку пересечения данной прямой $l$ и построенной прямой $m$. Это и есть искомая точка $X$.

Доказательство

По построению, точка $X$ принадлежит прямой $l$. Также точка $X$ принадлежит серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, выполняется равенство $XA = XB$. Таким образом, точка $X$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

В зависимости от взаимного расположения прямой $l$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$ возможны три случая. Случай 1: Прямая $l$ пересекает прямую $m$. В этом случае существует единственная точка их пересечения, и задача имеет одно решение. Это наиболее общий случай. Случай 2: Прямая $l$ параллельна прямой $m$ (и не совпадает с ней). В этом случае общих точек нет, и задача не имеет решений. Это происходит, когда прямая, соединяющая $A$ и $B$, перпендикулярна $l$, но $l$ не проходит через середину отрезка $AB$. Случай 3: Прямая $l$ совпадает с прямой $m$. В этом случае любая точка прямой $l$ является решением, и задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения данной прямой и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две заданные точки. В зависимости от их взаимного расположения, задача может иметь одно решение (общий случай), не иметь решений (если данная прямая параллельна серединному перпендикуляру и не совпадает с ним) или иметь бесконечное множество решений (если данная прямая является серединным перпендикуляром).