Номер 4.55, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.55. Постройте окружность заданного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на заданной прямой.

Для решения этой задачи на построение необходимо найти центр искомой окружности. Проанализируем условия, которым должен удовлетворять этот центр.

Пусть нам даны: радиус $R$ (в виде отрезка), точка $P$ и прямая $l$. Требуется построить окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$, которая проходит через точку $P$ и для которой центр $O$ лежит на прямой $l$.

Анализ

По определению, искомая окружность $\omega$ является множеством точек, удаленных от ее центра $O$ на расстояние $R$.

1. Так как окружность проходит через точку $P$, то расстояние от центра $O$ до точки $P$ должно быть равно радиусу $R$, то есть $OP = R$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке $P$ и радиусом $R$. Обозначим эту вспомогательную окружность $C_P$.

2. По условию задачи, центр $O$ должен лежать на заданной прямой $l$.

Следовательно, искомый центр $O$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть находиться в точке пересечения окружности $C_P$ и прямой $l$. Это наблюдение и является ключом к построению.

Построение

1. Строим вспомогательную окружность $C_P$ с центром в данной точке $P$ и радиусом, равным данному радиусу $R$.
2. Находим точки пересечения построенной окружности $C_P$ с данной прямой $l$. Эти точки (если они существуют) и будут центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.
3. Для каждой найденной точки центра ($O_1$ или $O_2$) строим окружность с этим центром и радиусом $R$.

Каждая из построенных окружностей является искомой, так как ее центр лежит на прямой $l$, она имеет заданный радиус $R$ и проходит через точку $P$ (поскольку расстояние от ее центра до $P$ равно $R$).

Исследование

Число решений задачи зависит от количества точек пересечения вспомогательной окружности $C_P$ и прямой $l$. Пусть $d$ — расстояние от точки $P$ до прямой $l$.

• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ меньше заданного радиуса ($d < R$), то прямая $l$ пересекает окружность $C_P$ в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ равно заданному радиусу ($d = R$), то прямая $l$ касается окружности $C_P$ в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки $P$ до прямой $l$ больше заданного радиуса ($d > R$), то прямая $l$ не имеет общих точек с окружностью $C_P$. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти ее центр. Центр является точкой пересечения двух геометрических мест: 1) окружности с центром в данной точке $P$ и радиусом $R$; 2) данной прямой $l$. Построив эту вспомогательную окружность, находим ее точки пересечения с прямой $l$. Эти точки (если они существуют) и являются центрами искомых окружностей. В зависимости от взаимного расположения точки $P$ и прямой $l$, а также величины радиуса $R$, задача может иметь два, одно или ни одного решения.