Номер 4.48, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ имеет прямой угол при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC=b$, $BC=a$ и длину гипотенузы $AB=c$. По условию, нам даны длина катета $a$ и сумма длин другого катета и гипотенузы $s = b+c$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. На продолжении катета $AC$ за точку $A$ отложим отрезок $AD$, равный гипотенузе $AB=c$. В результате получим точку $D$ такую, что $CD = CA + AD = b + c = s$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В нем $\angle BCD = 90^\circ$, так как $\angle BCA = 90^\circ$ и точка $D$ лежит на прямой $AC$. Катет $BC$ равен $a$, а катет $CD$ равен $s$. Такой треугольник мы можем построить по двум известным катетам.

По нашему построению $AD = AB$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. Следовательно, вершина $A$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Значит, точка $A$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

С другой стороны, точка $A$ лежит на отрезке $CD$. Таким образом, искомая вершина $A$ — это точка пересечения отрезка $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

1. Построить прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной из сторон угла отложить отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. На другой стороне угла отложить отрезок $CD$, равный данной сумме $s$.
4. Соединить точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Обозначить точку пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ как $A$.
7. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Полученный в результате построения треугольник $ABC$ является искомым, так как удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, $\angle BCA = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
• Катет $BC$ равен данному отрезку $a$ по построению.
• Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. По свойству серединного перпендикуляра, она равноудалена от его концов, то есть $AB = AD$.
• Точка $A$ лежит на отрезке $CD$, поэтому $AC + AD = CD$. Так как по построению $CD = s$, и мы доказали, что $AD = AB$, то получаем $AC + AB = s$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным, один его катет равен $a$, а сумма другого катета и гипотенузы равна $s$.

Ответ:

1. Построить прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной из его сторон отложить отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. На другой стороне отложить отрезок $CD$, равный данной сумме $s$ (сумма другого катета и гипотенузы).
4. Соединить точки $B$ и $D$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точку пересечения этого перпендикуляра с отрезком $CD$ обозначить как $A$.
7. Соединить точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ является искомым.