Номер 4.46, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.46. Постройте прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе и острому углу; 2) по гипотенузе и катету; 3) по катету и прилежащему острому углу; 4) по катету и противолежащему острому углу.

1) по гипотенузе и острому углу

Пусть даны отрезок, равный гипотенузе $c$, и острый угол $α$. Ниже приводится алгоритм построения прямоугольного треугольника по этим данным.

1. Провести произвольную прямую $d$ и отметить на ней точку $A$.
2. Построить луч $l$ из точки $A$ так, чтобы он образовывал с прямой $d$ угол, равный данному углу $α$.
3. На луче $l$ отложить от точки $A$ отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
4. Из точки $B$ опустить перпендикуляр на прямую $d$. Точку пересечения перпендикуляра и прямой $d$ обозначить $C$.
5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ угол $∠BCA$ является прямым по построению (так как $BC$ — перпендикуляр к $AC$). Сторона $AB$, лежащая против прямого угла, является гипотенузой, и её длина равна $c$ по построению. Угол $∠CAB$ равен $α$ по построению. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен.

Пусть даны отрезок, равный гипотенузе $c$, и отрезок, равный катету $a$. Для существования такого треугольника необходимо, чтобы $c > a$.

1. Провести произвольную прямую $d$ и отметить на ней точку $C$.
2. Через точку $C$ провести прямую $p$, перпендикулярную прямой $d$. Угол между прямыми $d$ и $p$ будет прямым углом искомого треугольника.
3. На прямой $p$ отложить от точки $C$ отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
4. Из точки $B$ как из центра провести дугу окружности радиусом, равным данной гипотенузе $c$.
5. Точку пересечения этой дуги с прямой $d$ обозначить $A$.
6. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ угол $∠C$ равен $90°$ по построению. Катет $BC$ равен $a$ по построению. Сторона $AB$, лежащая напротив прямого угла (гипотенуза), равна $c$ по построению (как радиус дуги). Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен.

Пусть даны отрезок, равный катету $b$, и прилежащий к нему острый угол $α$.

1. Построить отрезок $AC$, равный данному катету $b$.
2. Из точки $C$ восставить перпендикуляр к отрезку $AC$, пусть это будет луч $l$.
3. Из точки $A$ построить луч $m$ так, чтобы он образовывал с отрезком $AC$ угол, равный данному углу $α$, и лежал в той же полуплоскости относительно прямой $AC$, что и луч $l$.
4. Точку пересечения лучей $l$ и $m$ обозначить $B$.
5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ угол $∠C$ равен $90°$ по построению. Катет $AC$ равен $b$ по построению. Прилежащий к нему острый угол $∠A$ равен $α$ по построению. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен.

Пусть даны отрезок, равный катету $a$, и противолежащий ему острый угол $α$.

Если в искомом треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, катет $BC = a$, а противолежащий ему угол $∠A = α$, то второй острый угол $∠B$ будет равен $90° - α$, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету $a$ и прилежащему к нему острому углу $∠B = 90° - α$, что аналогично задаче 3.

1. Сначала построим вспомогательный угол $β = 90° - α$. Для этого строим прямой угол, а затем от вершины прямого угла откладываем внутрь него угол $α$. Оставшаяся часть прямого угла будет равна $β$.
2. Построить отрезок $BC$, равный данному катету $a$.
3. Из точки $C$ восставить перпендикуляр к отрезку $BC$, пусть это будет луч $l$.
4. Из точки $B$ построить луч $m$ так, чтобы он образовывал с отрезком $BC$ угол, равный построенному углу $β$, и лежал в той же полуплоскости относительно прямой $BC$, что и луч $l$.
5. Точку пересечения лучей $l$ и $m$ обозначить $A$.
6. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ угол $∠C$ равен $90°$, катет $BC$ равен $a$, а угол $∠B$ равен $β = 90° - α$ по построению. Так как сумма углов треугольника равна $180°$, то $∠A = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - (90° - α) = α$. Следовательно, катет $BC$ равен $a$, а противолежащий ему угол $∠A$ равен $α$. Треугольник удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен.