Номер 4.45, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.45. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к основанию.

Анализ

Пусть даны два отрезка: отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $h$, равный высоте, проведенной к основанию. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC$ будет равно отрезку $a$, боковые стороны $AB$ и $BC$ будут равны между собой, а высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на основание $AC$, будет равна отрезку $h$.

Ключевым свойством равнобедренного треугольника, которое мы используем для построения, является то, что высота, проведенная к основанию, также является его медианой и биссектрисой. Это означает, что высота $BH$ делит основание $AC$ в точке $H$ пополам (т.е. $AH=HC$) и перпендикулярна ему (т.е. $\angle{AHB} = 90^\circ$). Таким образом, задача сводится к построению двух равных прямоугольных треугольников ($ABH$ и $CBH$) с общим катетом $BH$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. Начертим произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $A$.

2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок, равный длине заданного основания $a$. Конец этого отрезка обозначим точкой $C$. Отрезок $AC$ — это основание искомого треугольника.

3. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого установим раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины $AC$. Проведем дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $C$ этим радиусом так, чтобы они пересекались по обе стороны от отрезка $AC$. Обозначим точки пересечения дуг $P_1$ и $P_2$.

4. Проведем прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Точку пересечения этой прямой с отрезком $AC$ обозначим $H$. Точка $H$ является серединой основания $AC$.

5. На построенном перпендикуляре отложим отрезок, равный высоте $h$. Для этого измерим циркулем длину отрезка $h$. Установим острие циркуля в точку $H$ и проведем дугу радиусом $h$, которая пересечет серединный перпендикуляр. Точку пересечения обозначим $B$.

6. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$ с помощью линейки. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

По построению, его основание $AC$ равно заданному отрезку $a$.

Отрезок $BH$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, следовательно, $BH \perp AC$ и $AH = HC$. Длина $BH$ по построению равна заданной высоте $h$. Таким образом, $BH$ — это высота треугольника, проведенная к основанию, и ее длина равна заданной.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $CBH$. У них катет $BH$ — общий, а катеты $AH$ и $CH$ равны по построению ($H$ — середина $AC$). Следовательно, $\triangle ABH = \triangle CBH$ по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, поскольку он равнобедренный ($AB = BC$), его основание $AC$ равно заданной длине $a$, а его высота $BH$, проведенная к основанию, равна заданной длине $h$.