Номер 4.42, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.42. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

2) по основанию и углу при основании;

3) по боковой стороне и углу при вершине;

4) по основанию и боковой стороне;

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

Рис. 4.25

1) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию

Пусть даны отрезок $b$, равный боковой стороне, и угол $\alpha$, противолежащий основанию (то есть, угол при вершине равнобедренного треугольника).

Построение:

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$.

2. От этого луча отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла, а затем такую же окружность с центром в точке $A$. Измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой окружности со сторонами угла и отложим это расстояние на второй окружности. Проведем второй луч из точки $A$ через полученную точку. Обозначим стороны построенного угла как лучи $l_1$ и $l_2$.

3. На луче $l_1$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный данной боковой стороне $b$. Для этого измерим циркулем отрезок $b$ и проведем дугу с центром в точке $A$ и радиусом $b$. Точку пересечения дуги с лучом $l_1$ обозначим $B$.

4. Аналогично на луче $l_2$ от точки $A$ отложим отрезок $AC$, равный стороне $b$.

5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком прямой.

Доказательство: Построенный треугольник $ABC$ является искомым. По построению две его стороны $AB$ и $AC$ равны данной боковой стороне $b$, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Угол $\angle BAC$ между этими сторонами (угол при вершине) равен данному углу $\alpha$ по построению. Таким образом, треугольник построен по заданным элементам.

Ответ: Построение выполнено.

2) по основанию и углу при основании

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и угол $\beta$, равный углу при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному основанию $a$.

2. От луча $CB$ отложим угол, равный данному углу $\beta$. Получим луч $BX$. Угол $\angle XBC$ равен $\beta$.

3. От луча $BC$ отложим угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $C$. Получим луч $CY$. Угол $\angle YCB$ равен $\beta$.

4. Лучи $BX$ и $CY$ пересекутся в некоторой точке $A$ (поскольку сумма двух углов $\beta + \beta$ должна быть меньше $180^\circ$, то есть $\beta < 90^\circ$, лучи не будут параллельны или расходящимися).

5. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна данному основанию $a$ по построению. Углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ при основании равны данному углу $\beta$ по построению. Так как два угла треугольника равны, он является равнобедренным. Таким образом, треугольник построен по заданным элементам.

Ответ: Построение выполнено.

3) по боковой стороне и углу при вершине

Угол при вершине равнобедренного треугольника — это угол, противолежащий основанию. Таким образом, данная задача полностью совпадает с задачей из пункта 1). Построение и доказательство проводятся аналогично.

Ответ: Построение выполняется так же, как в пункте 1).

4) по основанию и боковой стороне

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $b$, равный боковой стороне.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному основанию $a$.

2. Из точки $B$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным данной боковой стороне $b$.

3. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности тем же радиусом $b$.

4. Дуги пересекутся в двух точках. Выберем одну из них и обозначим ее $A$. (Для того чтобы пересечение существовало, должно выполняться неравенство треугольника: $b+b > a$, то есть $2b > a$).

5. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна данному основанию $a$ по построению. Стороны $AB$ и $AC$ равны данной боковой стороне $b$, так как они являются радиусами окружностей, проведенных из точек $B$ и $C$. Поскольку $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Таким образом, треугольник построен по заданным элементам.

Ответ: Построение выполнено.

5) по основанию и медиане, проведенной к основанию

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $m_a$, равный медиане, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному основанию $a$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Для этого из точек $B$ и $C$ проведем дуги окружности радиусом, большим половины длины $BC$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, будет серединным перпендикуляром. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком $BC$ буквой $M$. Точка $M$ является серединой основания $BC$.

3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $M$ отложим отрезок $MA$, равный данной медиане $m_a$.

4. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна данному основанию $a$. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ противоположной стороны $BC$, следовательно, $AM$ — медиана, и ее длина по построению равна $m_a$. Так как медиана $AM$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то $AM$ также является высотой треугольника $ABC$. В треугольнике, где медиана является высотой, этот треугольник — равнобедренный ($AB=AC$). Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$ по двум катетам ($AM$ — общий, $BM = CM$). Таким образом, треугольник построен по заданным элементам.

Ответ: Построение выполнено.