Номер 4.44, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.44. Даны отрезки длиной $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$. Постройте треугольник ABC так, чтобы $AB = 2a$, $BC = b$, $AC = c$. Всегда ли задача имеет решение?

Построение треугольника

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = 2a$, $BC = b$ и $AC = c$ выполним следующие шаги:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A, которая будет одной из вершин будущего треугольника.

2. С помощью циркуля измерим длину отрезка a. От точки A на прямой отложим последовательно два таких отрезка в одном направлении. Конец второго отрезка обозначим точкой B. Таким образом, мы получим сторону AB, длина которой равна $a + a = 2a$.

3. Измерим циркулем длину отрезка c. Построим дугу окружности с центром в точке A и радиусом, равным c.

4. Измерим циркулем длину отрезка b. Построим дугу окружности с центром в точке B и радиусом, равным b.

5. Точка пересечения построенных дуг будет третьей вершиной треугольника. Обозначим ее C. (Как правило, дуги пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой AB. Для построения треугольника можно выбрать любую из них).

6. Соединим отрезками точки A, B и C. Полученный треугольник ABC является искомым, так как по построению его стороны удовлетворяют заданным условиям: $AB = 2a$, $AC = c$, $BC = b$.

Ответ: Искомый треугольник строится по трем сторонам $2a$, $b$ и $c$. Сначала строится сторона $AB$ длиной $2a$, затем находится вершина $C$ как точка пересечения двух дуг: одной с центром в $A$ и радиусом $c$, и второй с центром в $B$ и радиусом $b$.

Всегда ли задача имеет решение?

Нет, задача имеет решение не всегда. Чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

В данном случае стороны треугольника имеют длины $2a$, $b$ и $c$. Следовательно, для того чтобы треугольник ABC существовал, должны одновременно выполняться три неравенства:

• $2a + b > c$

• $2a + c > b$

• $b + c > 2a$

Если хотя бы одно из этих условий не соблюдается (например, если $b + c \le 2a$), то дуги, построенные на шагах 3 и 4, не пересекутся (или пересекутся на прямой AB), и non-degenerate (невырожденный) треугольник построить будет невозможно.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, когда длины отрезков $a, b, c$ удовлетворяют системе неравенств: $2a + b > c$, $2a + c > b$ и $b + c > 2a$.