Номер 4.47, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.47. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие двум сторонам треугольника и медиане, проведенной к одной из этих сторон. Обозначим длины этих отрезков как $a$, $b$ и $m_a$, где $m_a$ — это медиана, проведенная к стороне длиной $a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором одна сторона равна $a$, другая $b$, и медиана к стороне $a$ равна $m_a$. (Случай, когда дана медиана $m_b$ к стороне $b$, решается полностью аналогично).

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — сторона длиной $a$, $AC$ — сторона длиной $b$, и $AM$ — медиана к стороне $BC$ длиной $m_a$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BM = MC = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех сторон:

• $AC = b$ (по условию).
• $AM = m_a$ (по условию).
• $MC = \frac{a}{2}$ (так как $AM$ — медиана к стороне $BC$).

Таким образом, мы можем построить треугольник $AMC$ по трем сторонам. Построив его, мы найдем вершины $A$, $M$ и $C$. Вершину $B$ можно найти, продлив отрезок $CM$ за точку $M$ на расстояние, равное $CM$. То есть, точка $B$ будет лежать на прямой $CM$ так, что $MB = MC$ и $M$ находится между $B$ и $C$.

Построение

Алгоритм построения, выполняемый с помощью циркуля и линейки, следующий:

1. Построим отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$. Для этого, если необходимо, сначала построим отрезок длиной $a$, а затем найдем его середину.
2. Из точки $M$ как из центра проведем окружность $\omega_1$ радиусом $m_a$.
3. Из точки $C$ как из центра проведем окружность $\omega_2$ радиусом $b$.
4. Точка пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ даст нам вершину $A$. Если окружности пересекаются в двух точках, можно выбрать любую из них, так как в результате получатся конгруэнтные треугольники.
5. Соединим точки $A$, $M$, $C$, чтобы получить треугольник $AMC$.
6. Проведем луч $CM$. На этом луче отложим от точки $M$ отрезок $MB$, равный $MC$, так, чтобы точка $M$ лежала между $C$ и $B$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AC$ имеет длину $b$, так как точка $A$ по построению лежит на окружности с центром в $C$ и радиусом $b$.
• Отрезок $AM$ имеет длину $m_a$, так как точка $A$ по построению лежит на окружности с центром в $M$ и радиусом $m_a$.
• Точка $M$ по построению является серединой отрезка $BC$, так как $CM=MB=\frac{a}{2}$. Следовательно, $AM$ является медианой к стороне $BC$.
• Длина стороны $BC$ равна $CM + MB = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда можно построить вспомогательный треугольник $AMC$ со сторонами $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$. Для этого необходимо, чтобы для этих длин выполнялось неравенство треугольника: $$ \begin{cases} b + m_a > \frac{a}{2} \\ b + \frac{a}{2} > m_a \\ m_a + \frac{a}{2} > b \end{cases} $$ Если все три неравенства строгие, то окружности в пункте 4 построения пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $MC$), и задача будет иметь единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одно из неравенств обращается в равенство, точки $A$, $M$, $C$ будут лежать на одной прямой, и треугольник будет вырожденным. Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется, окружности не пересекутся, и решения не существует.

Ответ: Задача решается путем построения вспомогательного треугольника со сторонами $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$, как описано в разделе "Построение". Решение существует и единственно (с точностью до конгруэнтности), если для длин $b$, $m_a$ и $\frac{a}{2}$ выполняется строгое неравенство треугольника.