Номер 4.54, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.54. Проведите через данную точку прямую, касающуюся данной окружности.

Решение этой задачи на построение зависит от расположения данной точки относительно данной окружности. Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке O и радиусом R, и дана точка P. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Точка P лежит вне окружности

В этом случае расстояние от точки P до центра окружности O больше радиуса R, то есть $|OP| > R$.

Анализ:

Предположим, что задача решена и прямая $PT$ является касательной к окружности $\omega$ в точке T. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $\triangle OTP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине T. Точка T лежит на данной окружности $\omega$. Также, из свойства прямоугольного треугольника следует, что его вершины лежат на окружности, построенной на гипотенузе $OP$ как на диаметре. Следовательно, точка касания T является точкой пересечения двух окружностей: данной окружности $\omega$ и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OP$ как на диаметре.

Построение:

1. Соединяем отрезком данную точку P с центром окружности O.
2. Находим середину M отрезка OP. Для этого строим серединный перпендикуляр к отрезку OP.
3. Строим вспомогательную окружность с центром в точке M и радиусом, равным $|OM|$ (или $|MP|$).
4. Эта вспомогательная окружность пересечет данную окружность в двух точках. Обозначим их $T_1$ и $T_2$.
5. Проводим прямые через точку P и точки $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ являются искомыми касательными.

Доказательство:

Рассмотрим прямую $PT_1$. Точка $T_1$ по построению лежит на вспомогательной окружности с диаметром OP. Угол $\angle OT_1P$ вписан в эту окружность и опирается на ее диаметр OP. Следовательно, $\angle OT_1P = 90^\circ$. Это означает, что прямая $PT_1$ перпендикулярна радиусу $OT_1$ данной окружности в его конце ($T_1$), лежащем на окружности. По определению, такая прямая является касательной. Аналогично доказывается, что прямая $PT_2$ также является касательной к данной окружности.

Ответ: Если точка лежит вне окружности, задача имеет два решения — через точку можно провести две различные касательные.

Случай 2: Точка P лежит на окружности

В этом случае точка P принадлежит окружности, и расстояние $|OP|$ равно радиусу R.

Анализ:

Искомая касательная должна проходить через точку P и быть перпендикулярной радиусу, проведенному в точку касания. Так как точка P является точкой касания, касательная должна быть перпендикулярна радиусу OP.

Построение:

1. Соединяем отрезком центр окружности O с точкой P на окружности, получая радиус OP.
2. Строим прямую, проходящую через точку P перпендикулярно радиусу OP. Эта прямая и будет искомой касательной.

Доказательство:

Построенная прямая проходит через данную точку P и перпендикулярна радиусу OP в точке P. По свойству касательной, такая прямая является единственной касательной к окружности в данной точке.

Ответ: Если точка лежит на окружности, задача имеет одно решение — можно провести ровно одну касательную.

Случай 3: Точка P лежит внутри окружности

В этом случае расстояние от точки P до центра окружности O меньше радиуса R, то есть $|OP| < R$.

Анализ и доказательство:

Предположим, что через точку P, лежащую внутри окружности, можно провести касательную $l$. Пусть T — точка касания. Тогда радиус OT должен быть перпендикулярен касательной $l$, то есть $\triangle OTP$ — прямоугольный с прямым углом T. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. В $\triangle OTP$ гипотенузой является отрезок OP, а одним из катетов — радиус OT. Таким образом, должно выполняться неравенство $|OP| > |OT|$. Но $|OT| = R$, а по условию данного случая $|OP| < R$. Мы получили противоречие: $|OP| > R$ и $|OP| < R$ одновременно. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Любая прямая, проходящая через точку внутри окружности, является секущей, то есть пересекает окружность в двух точках. Расстояние от центра окружности до любой такой прямой будет меньше радиуса, в то время как для касательной это расстояние должно быть равно радиусу.

Ответ: Если точка лежит внутри окружности, провести через нее касательную к этой окружности невозможно. Задача не имеет решений.