Номер 4.57, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Даны прямая $\text{a}$, точки $\text{A}$, $\text{B}$ и отрезок $\text{PQ}$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $\text{C}$ лежала на прямой $\text{a}$ и $AC = PQ$.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. $C$ лежит на прямой $a$.
2. Расстояние от точки $A$ до точки $C$ равно длине отрезка $PQ$, то есть $AC = PQ$.

ГМТ, удовлетворяющих первому условию, является сама прямая $a$.

ГМТ, удовлетворяющих второму условию, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = PQ$.

Следовательно, искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой $a$ и окружности с центром $A$ и радиусом $R = PQ$.

Построение

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$. Для этого устанавливаем иглу циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.
2. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = PQ$, измеренным на предыдущем шаге.
3. Находим точки пересечения построенной окружности и данной прямой $a$. Обозначим эти точки как $C_1$ и $C_2$ (если они существуют).
4. Соединяем точки $A$, $B$ и $C_1$ (или $C_2$) отрезками. Полученный треугольник $ABC_1$ (или $ABC_2$) является искомым.

Доказательство

Пусть $C$ — одна из точек, полученных в результате построения. По построению, точка $C$ является точкой пересечения прямой $a$ и окружности с центром $A$ и радиусом $PQ$.

• Так как $C$ лежит на прямой $a$, первое условие задачи выполнено.
• Так как $C$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $PQ$, то расстояние от центра $A$ до точки $C$ равно радиусу, то есть $AC = PQ$. Второе условие задачи также выполнено.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $a$ и окружности с центром $A$ и радиусом $R = PQ$. Пусть $d$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$.

• Если $d > PQ$, то прямая и окружность не пересекаются. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $d = PQ$, то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение (один треугольник).
• Если $d < PQ$, то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения (два треугольника).

Примечание: если точки $A$, $B$ и одна из найденных точек $C$ окажутся на одной прямой, то полученный треугольник будет вырожденным. Задача будет иметь решение, если точки $A$ и $B$ не совпадают и существует хотя бы одна точка $C$.

Ответ: искомая вершина $C$ является точкой (или точками) пересечения прямой $a$ и окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. В зависимости от расстояния от точки $A$ до прямой $a$ и длины отрезка $PQ$ задача может иметь два, одно или ни одного решения.