Номер 4.51, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.51. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.

Пусть даны отрезки, равные двум сторонам треугольника ($b$ и $c$) и высоте, опущенной на третью сторону ($h_a$). Требуется построить такой треугольник $ABC$, что $AC = b$, $AB = c$, а высота из вершины $A$ на прямую $BC$ равна $h_a$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AH$ — его высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Тогда $AH = h_a$. Вершина $A$ лежит на прямой, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$. Также вершины $B$ и $C$ лежат на окружностях с центром в точке $A$ и радиусами $c$ и $b$ соответственно. В прямоугольном треугольнике $AHC$ известна гипотенуза $AC=b$ и катет $AH=h_a$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $AHB$ известна гипотенуза $AB=c$ и катет $AH=h_a$. Это наблюдение позволяет выполнить построение.

1. Проведем произвольную прямую $p$. Эта прямая будет содержать основание искомого треугольника.
2. Выберем на прямой $p$ произвольную точку $H$ и восставим из нее перпендикуляр $q$.
3. На перпендикуляре $q$ отложим отрезок $HA$ длиной, равной данной высоте $h_a$. Точка $A$ — одна из вершин треугольника.
4. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом, равным стороне $b$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $C$.
5. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом, равным стороне $c$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $B$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

В построенном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны $c$ и $b$ соответственно по построению, так как точки $B$ и $C$ лежат на окружностях соответствующих радиусов с центром в $A$. Высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, есть отрезок $AH$, длина которого по построению равна $h_a$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение только в том случае, если окружности на шагах 4 и 5 пересекают прямую $p$. Это возможно, только если радиусы не меньше расстояния от центра до прямой, то есть $b \ge h_a$ и $c \ge h_a$.

• Если $b < h_a$ или $c < h_a$, решений нет.
• Если $b > h_a$, $c > h_a$ и $b \neq c$, то существует два неконгруэнтных решения. Это связано с тем, что точки $B$ и $C$ могут располагаться либо по разные стороны от точки $H$ (основания высоты), либо по одну сторону.
• Если $b > h_a$, $c > h_a$ и $b = c$, существует одно решение (равнобедренный треугольник).
• Если одна из сторон равна высоте (например, $b = h_a$), а другая больше ($c > h_a$), то существует одно решение (прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$).
• Если $b = c = h_a$, то треугольник вырождается в отрезок.

Ответ: Построение выполняется следующим образом: 1. Проводится прямая и на ней выбирается точка H. 2. Через H проводится перпендикуляр, на котором откладывается отрезок HA, равный высоте $h_a$. 3. Из центра A проводятся две окружности с радиусами, равными данным сторонам $b$ и $c$. 4. Точки пересечения этих окружностей с исходной прямой являются вершинами B и C искомого треугольника ABC.