Номер 4.58, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.58. Даны окружность, точки $\text{A}$, $\text{B}$ и отрезок $\text{PQ}$. Постройте $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $\text{C}$ лежала на окружности и $AC = PQ$.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая вершина $C$ треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Вершина $C$ лежит на данной окружности.
2. Расстояние от вершины $A$ до вершины $C$ равно длине отрезка $PQ$, т.е. $AC = |PQ|$.

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, является сама данная окружность (обозначим её $\omega$).

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, является окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$ (обозначим её $\omega_A$ и её радиус $r = |PQ|$).

Таким образом, искомая точка $C$ является точкой пересечения двух окружностей: данной окружности $\omega$ и построенной окружности $\omega_A$.

Построение

1. Измерим с помощью циркуля длину отрезка $PQ$. Для этого установим иглу циркуля в точку $P$, а грифель — в точку $Q$.
2. Построим окружность $\omega_A$ с центром в данной точке $A$ и радиусом $r = |PQ|$, равным измеренному расстоянию.
3. Найдем точки пересечения построенной окружности $\omega_A$ и данной окружности $\omega$. Эти точки и будут являться возможными положениями вершины $C$.
4. Если точки пересечения существуют, обозначим их $C_1$ (и $C_2$, если их две).
5. Соединим отрезками точки $A$ и $B$ с каждой из найденных точек $C_i$. Полученный треугольник $\triangle ABC_i$ является искомым.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения окружностей $\omega$ и $\omega_A$. Пусть $O$ — центр, а $R$ — радиус данной окружности $\omega$. Радиус построенной окружности $\omega_A$ равен $r = |PQ|$. Расстояние между центрами окружностей равно $d = |OA|$.

• Два решения: Если окружности пересекаются в двух точках. Это происходит, когда расстояние между центрами больше разности их радиусов, но меньше их суммы: $|R - r| < d < R + r$. В этом случае существуют две точки $C_1$ и $C_2$, и, соответственно, два треугольника $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.
• Одно решение: Если окружности касаются в одной точке. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов $d = R + r$ (внешнее касание) или модулю разности радиусов $d = |R - r|$ (внутреннее касание). В этом случае существует единственная точка $C$ и один треугольник $\triangle ABC$.
• Нет решений: Если окружности не имеют общих точек. Это происходит, когда $d > R + r$ (одна окружность вне другой) или $d < |R - r|$ (одна окружность внутри другой, не касаясь). В этом случае построить треугольник, удовлетворяющий условиям, невозможно.
• Бесконечно много решений: Если окружности совпадают. Это возможно только при $A=O$ и $r=R$. Тогда любая точка на данной окружности может быть вершиной $C$, что дает бесконечное множество решений.

Ответ: Чтобы построить треугольник $\triangle ABC$, нужно построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $PQ$. Точки пересечения этой окружности с данной в условии окружностью будут являться вершиной $C$ искомого треугольника. В зависимости от исходных данных, задача может иметь два, одно, ни одного или бесконечно много решений.