Номер 4.65, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.65. Постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Пусть необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ по катету $b$ и высоте $h_c$, опущенной на гипотенузу. Пусть в искомом треугольнике $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = b$, а $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$, т.е. $CH = h_c$ и $CH \perp AB$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором $\angle AHC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=b$ и катет $CH=h_c$. Такой треугольник можно построить, если гипотенуза не меньше катета, то есть $b \ge h_c$. Случай $b = h_c$ приводит к вырожденному треугольнику, поэтому для невырожденного треугольника должно выполняться условие $b > h_c$.

Построив треугольник $ACH$, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой, на которой лежит гипотенуза $AB$ (это прямая $AH$).

Третья вершина $B$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка $B$ лежит на прямой $AH$.

2. Угол $\angle ACB = 90^\circ$, следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $AH$ и прямой, проходящей через точку $C$ перпендикулярно $AC$. Это определяет алгоритм построения.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.

2. Восстановим в точке $H$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$.

3. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине данного катета $b$.

4. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке $A$ (при $b > h_c$ будет две точки пересечения, симметричные относительно прямой $CH$; выбор любой из них приведет к построению конгруэнтных треугольников).

5. Соединим точки $A$ и $C$.

6. Проведем через точку $C$ прямую $k$, перпендикулярную отрезку $AC$.

7. Точка пересечения прямых $k$ и $l$ является искомой вершиной $B$.

8. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

- Катет $AC=b$ по построению, так как $A$ — точка на окружности с центром $C$ и радиусом $b$.

- Треугольник $ABC$ — прямоугольный, так как $\angle ACB=90^\circ$ по построению (прямая $BC$ перпендикулярна $AC$).

- Отрезок $CH$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$, так как $CH \perp AB$ по построению, и его длина равна $h_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно выполнить все шаги построения.

Ключевым шагом является нахождение точки $A$ как точки пересечения прямой $l$ и окружности с центром $C$ и радиусом $b$. Расстояние от центра окружности $C$ до прямой $l$ равно $CH = h_c$.

- Если $b > h_c$, окружность пересекает прямую $l$ в двух точках. Это дает два симметричных решения, которые являются конгруэнтными треугольниками. Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

- Если $b = h_c$, окружность касается прямой $l$ в точке $H$. Тогда $A$ совпадает с $H$. В этом случае $AC \perp AH$, то есть $AC \perp AB$. Но по условию $\angle ACB = 90^\circ$, что означает $BC \perp AC$. Значит, прямые $AB$ и $BC$ должны совпадать, что невозможно для невырожденного треугольника. Формально, прямая $k$, перпендикулярная $AC$ в точке $C$, будет параллельна прямой $l$, и точки $B$ не существует. Решения нет.

- Если $b < h_c$, окружность не пересекает прямую $l$, и точку $A$ построить невозможно. Решения нет. Геометрически это означает, что в прямоугольном треугольнике ($ACH$) катет ($h_c$) не может быть длиннее гипотенузы ($b$).

Следовательно, задача имеет решение только при условии, что данный катет длиннее данной высоты.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если длина данного катета строго больше длины данной высоты, опущенной на гипотенузу. В противном случае задача не имеет решений.