Номер 4.70, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.70. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Для решения задачи сначала проведем анализ, затем опишем построение и докажем его правильность.

Анализ

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами в виде лучей $r_1$ и $r_2$. Внутри угла находится точка $A$. Требуется построить прямую $l$, проходящую через точку $A$ и пересекающую стороны угла в точках $B$ и $C$ (где $B$ лежит на $r_1$, а $C$ — на $r_2$) так, чтобы отрезки, отсекаемые от вершины угла, были равны, то есть $OB = OC$.

Если $OB = OC$, то треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Пусть $k$ — биссектриса угла $BOC$. Тогда прямая $k$ перпендикулярна основанию $BC$.

Таким образом, искомая прямая $l$ (содержащая отрезок $BC$) должна быть перпендикулярна биссектрисе данного угла $BOC$. Это свойство и лежит в основе построения.

Построение

1. Пусть дан угол с вершиной $O$ и точка $A$ внутри него. С помощью циркуля и линейки построим биссектрису $k$ данного угла.
2. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на биссектрису $k$. Для этого можно, например, построить окружность с центром в точке $A$, пересекающую биссектрису в двух точках, а затем построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
3. Полученная прямая $l$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная биссектрисе $k$, является искомой. Она пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$.

Доказательство

Пусть построенная прямая $l$ пересекает биссектрису $k$ в точке $P$, а стороны угла — в точках $B$ и $C$. По построению, прямая $l$ перпендикулярна биссектрисе $k$, следовательно, $\angle OPB = \angle OPC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OPB$ и $\triangle OPC$:

• $OP$ — общая сторона.
• $\angle BOP = \angle COP$, так как $k$ — биссектриса угла $BOC$.
• $\angle OPB = \angle OPC = 90^\circ$ по построению.

Следовательно, $\triangle OPB = \triangle OPC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $OB = OC$.

Таким образом, построенная прямая $l$ проходит через точку $A$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки. Задача решена.

Исследование и альтернативный способ

Построенная прямая является единственным решением, если под "сторонами угла" понимать лучи, образующие угол. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, не будет перпендикулярна биссектрисе угла и, следовательно, не будет отсекать равные отрезки на его сторонах.

Существует и другой способ построения, приводящий к тому же результату:

1. На одной из сторон угла, например $r_1$, выберем произвольную точку $B'$.
2. С помощью циркуля отложим на другой стороне $r_2$ отрезок $OC'$, равный отрезку $OB'$.
3. Проведем прямую через точки $B'$ и $C'$.
4. Через заданную точку $A$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $B'C'$. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство этого способа основано на подобии треугольников. Треугольник $OB'C'$ равнобедренный по построению. Прямая $l$, параллельная $B'C'$, отсекает от угла треугольник $OBC$, подобный треугольнику $OB'C'$. Следовательно, треугольник $OBC$ также будет равнобедренным, и $OB=OC$.

Иногда рассматривают и второе возможное решение — прямую, отсекающую равные отрезки на линиях, содержащих стороны угла. Такая прямая строится как перпендикуляр из точки $A$ к биссектрисе угла, смежного с данным. Однако в этом случае одна из точек пересечения будет лежать на стороне угла, а другая — на продолжении другой стороны, что обычно не соответствует условию "отсекающую на сторонах угла".

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, необходимо построить биссектрису данного угла, а затем через точку А провести прямую, перпендикулярную этой биссектрисе. Эта прямая пересечет стороны угла в двух точках, которые будут находиться на равном расстоянии от вершины угла.