Номер 4.71, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.71. Дан равносторонний треугольник $ABC$ и точка $B_1$ на стороне $\text{AC}$. На сторонах $\text{BC}$ и $\text{AB}$ постройте точки $A_1$ и $C_1$ так, чтобы треугольник $A_1B_1C_1$ был равносторонним.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом.

Анализ

Пусть искомый равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ построен. Его вершины $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ исходного треугольника $ABC$ соответственно. Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равносторонний, его вершину $A_1$ можно получить из вершины $C_1$ поворотом вокруг центра $B_1$ на угол $60^\circ$. Направление поворота (по или против часовой стрелки) определяет одно из двух возможных решений. Выберем для определенности поворот по часовой стрелке, то есть $A_1 = R_{B_1}^{-60^\circ}(C_1)$.

Из этого соотношения следует, что $C_1 = R_{B_1}^{60^\circ}(A_1)$. Точка $A_1$ лежит на прямой $BC$, следовательно, ее образ, точка $C_1$, должна лежать на образе прямой $BC$ при повороте $R_{B_1}^{60^\circ}$ вокруг точки $B_1$. Обозначим этот образ прямой как $L'$.

С другой стороны, по условию точка $C_1$ лежит на прямой $AB$. Значит, $C_1$ является точкой пересечения прямых $AB$ и $L'$. Это наблюдение позволяет нам построить точку $C_1$, а затем и точку $A_1$.

Построение

1. Сначала построим прямую $L'$, являющуюся образом прямой $BC$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $B_1$.

a) Прямая $BC$ образует с прямой $AC$ угол $180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. При повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки, новая прямая $L'$ будет образовывать с $AC$ угол $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, то есть будет параллельна прямой $AC$.

b) Чтобы определить положение этой параллельной прямой, найдем образ одной точки с прямой $BC$. Возьмем точку $C$ и повернем ее вокруг $B_1$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. Пусть ее образ — точка $K$. Тогда по определению поворота $B_1K = B_1C$ и $\angle KB_1C = 60^\circ$, то есть $\triangle B_1CK$ — равносторонний. Таким образом, прямая $L'$ проходит через точку $K$ и параллельна $AC$.

2. Находим точку $C_1$. Для этого строим равносторонний треугольник $B_1CK$ с вершиной $K$ в той же полуплоскости относительно $AC$, что и точка $B$. Затем проводим через $K$ прямую, параллельную $AC$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ и будет искомой точкой $C_1$.

3. Находим точку $A_1$. Как было показано в анализе, $A_1 = R_{B_1}^{-60^\circ}(C_1)$. Это значит, что для нахождения $A_1$ нужно построить на отрезке $B_1C_1$ равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы обход вершин $C_1 \to B_1 \to A_1$ был по часовой стрелке.

Обоснование

По построению точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, а треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним. Необходимо убедиться, что точка $A_1$ лежит на стороне $BC$.

Прямая, на которой лежит точка $C_1$ (шаг 2), есть $L' = R_{B_1}^{60^\circ}(BC)$. Значит, $C_1 \in R_{B_1}^{60^\circ}(BC)$. Применяя к обеим частям обратное преобразование, поворот $R_{B_1}^{-60^\circ}$, получаем: $R_{B_1}^{-60^\circ}(C_1) \in R_{B_1}^{-60^\circ}(R_{B_1}^{60^\circ}(BC))$. Это означает, что $R_{B_1}^{-60^\circ}(C_1) \in BC$.

Поскольку точка $A_1$ была построена именно как $A_1 = R_{B_1}^{-60^\circ}(C_1)$, то $A_1$ лежит на прямой $BC$. Так как $C_1$ находится между $A$ и $B$, а $B_1$ между $A$ и $C$, то построенная точка $A_1$ окажется на отрезке $BC$. Построение корректно.

Ответ:

Алгоритм построения искомых точек $A_1$ и $C_1$ следующий:

1. На отрезке $B_1C$ как на стороне строим равносторонний треугольник $B_1CK$ так, чтобы точка $K$ находилась по ту же сторону от прямой $AC$, что и точка $B$.

2. Через точку $K$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ является искомой точкой $C_1$.

3. На отрезке $B_1C_1$ как на стороне строим равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$. Вершину $A_1$ выбираем так, чтобы она находилась в полуплоскости, заданной прямой $B_1C_1$ и не содержащей точку $A$. Полученная точка $A_1$ будет лежать на стороне $BC$ и является второй искомой точкой.