Номер 4.66, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.66. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, равная отрезку $a$, $\angle BAC$ — данный угол, равный $\alpha$, а высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна отрезку $h$.

Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей сторону $BC$, должно быть равно $h$. Геометрическим местом точек (ГМТ), удаленных от данной прямой на заданное расстояние $h$, являются две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на расстояние $h$.

2. Угол, под которым видна сторона $BC$ из точки $A$, должен быть равен $\alpha$. ГМТ, из которых данный отрезок $BC$ виден под данным углом $\alpha$, есть две дуги окружностей, симметричные относительно прямой $BC$.

Следовательно, искомая вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест точек: дуги окружности и прямой, параллельной $BC$.

Ответ: Задача сводится к нахождению пересечения двух геометрических мест точек.

Построение

Пусть даны три отрезка, равные стороне $a$, высоте $h$, и угол, равный $\alpha$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный $a$.

2. Построим геометрическое место точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:

а) Проведем серединный перпендикуляр к отрезку $BC$.

б) От луча $CB$ в одну из полуплоскостей отложим угол $\angle CBD = \alpha$.

в) В точке $B$ восставим перпендикуляр к прямой $BD$. Точка $O$, в которой этот перпендикуляр пересечется с серединным перпендикуляром к $BC$, будет центром искомой окружности.

г) Построим дугу окружности с центром $O$ и радиусом $OB$, расположенную в той же полуплоскости, что и перпендикуляр к $BD$.

3. Построим геометрическое место точек, удаленных от прямой $BC$ на расстояние $h$. Для этого:

а) В произвольной точке $K$ на прямой $BC$ восставим перпендикуляр к ней.

б) На этом перпендикуляре отложим отрезок $KM = h$.

в) Через точку $M$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $BC$.

4. Найдем точки пересечения прямой $l$ и построенной дуги окружности. Обозначим одну из этих точек (если они существуют) как $A$.

5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в результате выполнения указанных шагов.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна данному отрезку $a$.

Вершина $A$ лежит на дуге окружности, построенной так, что все ее точки являются вершинами углов величиной $\alpha$, опирающихся на хорду $BC$. Следовательно, $\angle BAC = \alpha$.

Вершина $A$ также лежит на прямой $l$, которая параллельна прямой $BC$ и находится на расстоянии $h$ от нее. Следовательно, высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный треугольник является искомым, так как все его элементы соответствуют заданным.

Исследование

Число решений задачи зависит от количества точек пересечения прямой $l$ и дуги окружности. Прямая $l$ параллельна хорде $BC$.

Пусть $H_{max}$ — максимальное расстояние от точек дуги до хорды $BC$. Это расстояние равно высоте равнобедренного треугольника с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Эта высота вычисляется по формуле $H_{max} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Возможны следующие случаи:

• Если $h > H_{max}$, то прямая $l$ не пересекает дугу. В этом случае решений нет.

• Если $h = H_{max}$, то прямая $l$ касается дуги в ее высшей точке. В этом случае одно решение (равнобедренный треугольник).

• Если $0 < h < H_{max}$, то прямая $l$ пересекает дугу в двух точках. В этом случае два решения (два треугольника, симметричных относительно серединного перпендикуляра к стороне $BC$).

• Если $h \le 0$, задача не имеет смысла.

Ответ: Задача имеет от 0 до 2 решений в зависимости от соотношения между высотой $h$ и величиной $\frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$.