Номер 4.68, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.68. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Через три данные точки проведите окружность.

Чтобы найти окружность, проходящую через три точки $A$, $B$ и $C$, необходимо определить её центр и радиус. Центр окружности, точка $O$, должен быть равноудалён от всех трёх точек, то есть $OA = OB = OC$.

Множеством точек, равноудалённых от двух точек (например, $A$ и $B$), является серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему. Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По той же причине центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ — это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $BC$. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из данных точек ($R = OA$).

Ответ: Центр искомой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим данные точки попарно (например, $AB$ и $BC$). Радиус равен расстоянию от найденного центра до любой из данных точек.

Всегда ли задача имеет решение?

Существование решения зависит от взаимного расположения данных трёх точек.

Если три точки не лежат на одной прямой, они образуют вершины треугольника. Серединные перпендикуляры к двум его сторонам (например, $AB$ и $BC$) не будут параллельны и, следовательно, пересекутся в одной-единственной точке. Эта точка и будет центром единственной возможной окружности (описанной около треугольника $ABC$). В этом случае задача имеет единственное решение.

Если три точки лежат на одной прямой, то серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $BC$ будут параллельны друг другу (так как оба перпендикулярны одной и той же прямой). Если точки $A$, $B$, $C$ различны, эти перпендикуляры не совпадут. Параллельные несовпадающие прямые не пересекаются, поэтому точки, которая могла бы стать центром окружности, не существует. В этом случае задача решения не имеет.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой.