Номер 4.72, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по известной длине стороны $BC = a$, высоте $AH = h_a$, проведенной к этой стороне, и медиане $AM = m_a$, также проведенной к этой стороне.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — его основание, равное $a$. $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $AM$ — медиана, и ее длина равна $m_a$. $H$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$, следовательно, $AH$ — высота, и ее длина равна $h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHM$. Его гипотенузой является медиана $AM = m_a$, а одним из катетов — высота $AH = h_a$. Вершина $A$ и точки $H$ и $M$ определяют этот треугольник.

Таким образом, мы можем построить треугольник $AHM$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$. После этого, зная положение точки $M$ (середины искомой стороны) и прямой, на которой лежит эта сторона (прямая $HM$), мы можем построить и саму сторону $BC$.

Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Находиться на расстоянии $h_a$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Это означает, что $A$ лежит на одной из двух прямых, параллельных $BC$ и удаленных от нее на $h_a$.

2. Находиться на расстоянии $m_a$ от точки $M$, середины отрезка $BC$. Это означает, что $A$ лежит на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $m_a$.

Искомая вершина $A$ будет точкой пересечения этих геометрических мест точек.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$. Для этого проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $H$.
2. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $p$ отложим отрезок $HA$, длина которого равна данной высоте $h_a$.
4. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным данной медиане $m_a$.
5. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке (или точках) $M$. Выберем одну из них. Мы получили треугольник $AHM$. (Если $m_a < h_a$, пересечения не будет и построение невозможно).
6. Теперь на прямой $l$ от точки $M$ в обе стороны отложим отрезки $MB$ и $MC$, равные половине длины данной стороны, т.е. $MB = MC = a/2$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $MB + MC = a/2 + a/2 = a$. Отрезок $AM$ является медианой, так как $M$ — середина $BC$. Длина $AM$ по построению равна $m_a$ (как радиус окружности). Отрезок $AH$ является высотой, так как $AH \perp BC$. Длина $AH$ по построению равна $h_a$. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $a$, $h_a$ и $m_a$.

1. Для того чтобы можно было построить прямоугольный треугольник $AHM$, необходимо, чтобы его гипотенуза $m_a$ была не меньше катета $h_a$. То есть, должно выполняться условие $m_a \ge h_a$.

2. Если $m_a > h_a$, окружность с центром $A$ и радиусом $m_a$ пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно точки $H$. Выбор любой из этих точек для $M$ приведет к построению треугольника, удовлетворяющего условиям. Эти два треугольника будут зеркально-симметричными, то есть конгруэнтными. Таким образом, в этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

3. Если $m_a = h_a$, то точки $H$ и $M$ совпадут. Это означает, что высота и медиана, проведенные к стороне $BC$, совпадают. В этом случае треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB = AC$). Решение также единственно.

4. Если $m_a < h_a$, то построение невозможно, так как окружность не пересечет прямую $l$. Геометрически это означает, что медиана не может быть короче перпендикуляра, опущенного из той же вершины.

5. Длины отрезков $a$, $h_a$, $m_a$ должны быть положительными.

Ответ: Построение возможно и имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если заданные длины стороны $a$, высоты $h_a$ и медианы $m_a$ удовлетворяют условию $m_a \ge h_a > 0$ и $a > 0$. Если $m_a < h_a$, задача не имеет решений.