Номер 5, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Доказать: $\angle AOB = 2 \angle CAB.$

5. 1. Прямая AC является касательной к окружности в точке A, а OA — радиус, проведенный в точку касания. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания, следовательно, $\angle OAC = 90^\circ$.

2. Угол $\angle OAC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle OAB$ и $\angle CAB$. Таким образом, $\angle OAB + \angle CAB = 90^\circ$. Отсюда мы можем выразить угол $\angle OAB$: $\angle OAB = 90^\circ - \angle CAB$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны OA и OB равны, так как обе являются радиусами одной и той же окружности ($OA = OB = R$). Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный с основанием AB.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle OBA = \angle OAB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle AOB$ справедливо равенство: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$. Заменив $\angle OBA$ на равный ему угол $\angle OAB$, получаем: $\angle AOB + 2\angle OAB = 180^\circ$.

5. Теперь подставим в полученное равенство выражение для $\angle OAB$ из пункта 2:

$\angle AOB + 2(90^\circ - \angle CAB) = 180^\circ$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\angle AOB + 180^\circ - 2\angle CAB = 180^\circ$

Вычтем $180^\circ$ из обеих частей уравнения:

$\angle AOB - 2\angle CAB = 0$

И окончательно получаем:

$\angle AOB = 2\angle CAB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $\angle AOB = 2\angle CAB$ доказано.