Номер 5.2, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.2. Зная, что $AB = 8$ см, точка $\text{K}$ – середина отрезка $\text{AB}$, найдите на прямой $\text{AB}$ все такие точки $\text{X}$, чтобы выполнялось равенство $AX + BX + KX = 15$ см. Изобразите эти точки на рисунке.

По условию задачи, дан отрезок $AB$ с длиной $AB = 8$ см. Точка $K$ является серединой этого отрезка. Это означает, что точка $K$ делит отрезок $AB$ на два равных отрезка $AK$ и $KB$, и все три точки $A$, $K$, $B$ лежат на одной прямой.

Длины отрезков $AK$ и $KB$ равны:

$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Требуется найти все такие точки $X$ на прямой $AB$, для которых выполняется равенство:

$AX + BX + KX = 15$ см.

Рассмотрим все возможные расположения точки $X$ на прямой относительно отрезка $AB$.

Случай 1: Точка X лежит на отрезке AB.

Если точка $X$ расположена между точками $A$ и $B$, то сумма длин отрезков $AX$ и $BX$ равна длине всего отрезка $AB$:

$AX + BX = AB = 8$ см.

Подставим это значение в исходное равенство:

$8 + KX = 15$

Из этого уравнения находим расстояние от точки $K$ до точки $X$:

$KX = 15 - 8 = 7$ см.

Однако, точка $K$ — середина отрезка $AB$. Максимальное расстояние от точки $K$ до любой точки $X$, лежащей на отрезке $AB$, равно расстоянию до его концов, то есть $AK = KB = 4$ см. Таким образом, $KX$ не может быть больше 4 см. Полученное значение $KX = 7$ см противоречит условию, что точка $X$ лежит на отрезке $AB$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Точка X лежит вне отрезка AB.

Это означает, что точка $X$ лежит на прямой $AB$, но либо за точкой $A$ (если смотреть от $B$), либо за точкой $B$ (если смотреть от $A$).

Подслучай 2.1: Точка X лежит на продолжении отрезка AB за точку B.

В этом случае точки на прямой расположены в следующем порядке: $A - K - B - X$. Выразим длины отрезков $AX$ и $KX$ через искомую длину $BX$:

$AX = AB + BX = 8 + BX$

$KX = KB + BX = 4 + BX$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$(8 + BX) + BX + (4 + BX) = 15$

$12 + 3 \cdot BX = 15$

$3 \cdot BX = 3$

$BX = 1$ см.

Таким образом, мы нашли одну точку, назовем ее $X_1$, которая находится на расстоянии 1 см от точки $B$ на продолжении отрезка.

Подслучай 2.2: Точка X лежит на продолжении отрезка AB за точку A.

В этом случае точки на прямой расположены в следующем порядке: $X - A - K - B$. Выразим длины отрезков $BX$ и $KX$ через искомую длину $AX$:

$BX = BA + AX = 8 + AX$

$KX = KA + AX = 4 + AX$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$AX + (8 + AX) + (4 + AX) = 15$

$12 + 3 \cdot AX = 15$

$3 \cdot AX = 3$

$AX = 1$ см.

Таким образом, мы нашли вторую точку, назовем ее $X_2$, которая находится на расстоянии 1 см от точки $A$ на продолжении отрезка.

Итак, существуют две точки, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: Существуют две такие точки $X$. Первая точка $X_1$ находится на прямой $AB$ на расстоянии 1 см от точки $B$, в стороне, противоположной точке $A$. Вторая точка $X_2$ находится на прямой $AB$ на расстоянии 1 см от точки $A$, в стороне, противоположной точке $B$.

Изобразите эти точки на рисунке.