Номер 8, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Разделите данный угол на 4 равные части.

Чтобы разделить данный угол на четыре равные части, необходимо выполнить операцию построения биссектрисы (деления угла пополам) сначала для исходного угла, а затем для каждого из двух получившихся углов. Для этого используются циркуль и линейка без делений.

Представим алгоритм действий:

1. Деление исходного угла пополам. Пусть вершина данного угла находится в точке $O$. Установим острие циркуля в точку $O$ и проведем дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $A$ и $B$. Затем из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (достаточно большого, чтобы они пересеклись) внутри угла. Точку их пересечения назовем $C$. Проведем луч $OC$. Этот луч является биссектрисой исходного угла, он делит его на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

2. Деление каждого из полученных углов пополам. Теперь у нас есть два равных угла, $\angle AOC$ и $\angle COB$, и нам нужно разделить каждый из них на две равные части.

- Для угла $\angle AOC$: первая дуга, которую мы провели из центра $O$, уже пересекает его стороны в точке $A$ и в точке на луче $OC$. Назовем эту точку на луче $OC$ буквой $D$. Теперь, установив циркуль в точки $A$ и $D$ поочередно, проведем две пересекающиеся дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle AOC$. Точку их пересечения назовем $E$. Проведенный луч $OE$ будет биссектрисой угла $\angle AOC$.

- Для угла $\angle COB$: его стороны пересекаются с самой первой дугой в точках $D$ и $B$. Повторим процедуру: из точек $D$ и $B$ как из центров проведем две пересекающиеся дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle COB$. Точку их пересечения назовем $F$. Проведенный луч $OF$ будет биссектрисой угла $\angle COB$.

В результате этих построений мы получим три новых луча ($OE$, $OC$ и $OF$), которые выходят из вершины $O$ и делят исходный угол на четыре равные части: $\angle AOE = \angle EOC = \angle COF = \angle FOB$.

Ответ: Чтобы разделить угол на четыре равные части, необходимо сначала построить его биссектрису, разделив его на два равных угла. Затем для каждого из этих двух углов нужно также построить биссектрису. В результате три построенных луча разделят исходный угол на четыре равные части.