Номер 1, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Найти $\text{OB}$.

1. Найти OB.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Прямая, на которой лежит отрезок $AB$, является касательной к окружности с центром в точке $O$ и точкой касания $A$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен прямой $AB$.

Из этого следует, что угол $\angle OAB$ является прямым, то есть $\angle OAB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $OAB$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $OAB$ нам известны:

- катет $OA$ (прилежащий к углу $AOB$), который является радиусом окружности и равен 5;

- острый угол $\angle AOB = 60^\circ$;

- сторона $OB$ является гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы $OB$ воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle AOB) = \frac{OA}{OB}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\cos(60^\circ) = \frac{5}{OB}$

Значение косинуса 60 градусов является табличной величиной: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{OB}$

Выразим $OB$ из этого уравнения (используя свойство пропорции):

$1 \cdot OB = 5 \cdot 2$

$OB = 10$

Ответ: 10