Номер 4.52, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.52. На данной прямой укажите точку, равноудаленную от двух заданных точек.

Для нахождения на данной прямой точки, равноудаленной от двух заданных точек, необходимо использовать свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр).

Пусть нам даны прямая l и две точки A и B. Мы ищем точку X на прямой l такую, что расстояние XA равно расстоянию XB, то есть $XA = XB$.

Искомая точка X должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка X принадлежит данной прямой l.
2. Точка X равноудалена от точек A и B.

Множество всех точек, равноудаленных от A и B, образует серединный перпендикуляр m к отрезку AB. Следовательно, искомая точка X является точкой пересечения данной прямой l и серединного перпендикуляра m к отрезку AB. Таким образом, искомая точка $X$ находится как $X = l \cap m$.

Алгоритм построения искомой точки X с помощью циркуля и линейки:

1. Соединить данные точки A и B, получив отрезок AB.
2. Построить серединный перпендикуляр m к отрезку AB. Для этого:
   • Из точки A провести окружность (или дугу) произвольного, но достаточно большого радиуса $R$ (больше половины длины отрезка AB, то есть $R > \frac{1}{2}AB$).
   • Из точки B провести окружность (или дугу) того же радиуса $R$.
   • Две построенные окружности (дуги) пересекутся в двух точках, назовем их P и Q.
   • Провести прямую m через точки P и Q. Эта прямая и является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
3. Найти точку пересечения построенного серединного перпендикуляра m и данной прямой l. Эта точка, обозначенная как X, и будет искомой.

Построенная точка X лежит на прямой l, так как она является точкой пересечения прямых l и m. Также точка X лежит на серединном перпендикуляре m к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $XA = XB$. Таким образом, точка X удовлетворяет всем условиям задачи.

В зависимости от взаимного расположения прямой l и точек A и B, задача может иметь разное количество решений.

• Одно решение: Если данная прямая l пересекает серединный перпендикуляр m, то существует одна единственная искомая точка. Это наиболее общий случай.
• Нет решений: Если прямая l параллельна серединному перпендикуляру m и не совпадает с ним. Это происходит, когда прямая, содержащая отрезок AB, перпендикулярна прямой l, а сама прямая l не проходит через середину отрезка AB. В этом случае общих точек нет, и решения не существует.
• Бесконечно много решений: Если прямая l совпадает с серединным перпендикуляром m. В этом случае любая точка прямой l равноудалена от точек A и B, и, следовательно, задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения данной прямой и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две заданные точки. В зависимости от их взаимного расположения, задача может иметь одно решение, ни одного или бесконечно много решений.