Номер 4.53, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.53. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.

Для решения данной задачи на построение необходимо найти центр и радиус искомой окружности. План решения основан на использовании свойств касательных и биссектрисы угла.

Анализ

Пусть дан угол с вершиной $A$ и сторонами-лучами $l_1$ и $l_2$. На стороне $l_1$ задана точка $M$. Требуется построить окружность, которая касается обеих сторон угла, причем стороны $l_1$ — в точке $M$.

Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен удовлетворять двум условиям, вытекающим из свойств окружности и касательных:

1. Центр окружности, касающейся сторон угла, равноудален от этих сторон. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, центр $O$ должен лежать на биссектрисе угла $A$.
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поскольку окружность касается стороны $l_1$ в точке $M$, ее радиус $OM$ должен быть перпендикулярен прямой $l_1$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на прямой, которая перпендикулярна $l_1$ и проходит через точку $M$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения двух построенных линий: биссектрисы угла $A$ и перпендикуляра к стороне $l_1$ в точке $M$. Радиус окружности будет равен длине отрезка $OM$.

Построение

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Построим биссектрису данного угла с вершиной $A$. Обозначим ее лучом $b$.
2. В точке $M$ на стороне $l_1$ восстановим перпендикуляр к этой стороне. Обозначим его прямой $p$.
3. Найдем точку пересечения биссектрисы $b$ и перпендикуляра $p$. Эта точка $O$ и будет центром искомой окружности.
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.

Доказательство

Построенная окружность по определению проходит через точку $M$. Она касается стороны $l_1$ в точке $M$, так как радиус $OM$ по построению перпендикулярен $l_1$. Так как центр окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, он равноудален от сторон $l_1$ и $l_2$. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно $OM = R$. Следовательно, расстояние от $O$ до $l_2$ также равно $R$, что означает, что окружность касается и стороны $l_2$. Таким образом, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача всегда имеет единственное решение, если точка $M$ не совпадает с вершиной угла $A$.

Ответ: Искомая окружность построена. Её центр $O$ является точкой пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне, проведенного через данную точку касания $M$. Радиус окружности равен $OM$.