Номер 4.49, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

Задача о построении треугольника по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них, имеет два основных случая. Пусть даны отрезки, соответствующие двум сторонам ($a$ и $b$) и высоте ($h$).

Случай 1: Даны стороны $a$, $b$ и высота $h_a$, опущенная на сторону $a$.

В этом случае нам нужно построить треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и высотой $AH = h_a$, где $H$ — основание высоты на прямой $BC$.

Анализ: Вершина $A$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям: 1) находиться на расстоянии $h_a$ от прямой, содержащей сторону $BC$; 2) находиться на расстоянии $b$ от вершины $C$. Геометрическим местом точек для первого условия является пара параллельных прямых, а для второго — окружность.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую $l$.

2. Отметим на ней точку $C$ и отложим от неё отрезок $CB$ длиной $a$.

3. Построим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и удаленную от нее на расстояние $h_a$. Для этого можно в любой точке на прямой $l$ (например, в точке $C$) восстановить перпендикуляр и отложить на нем отрезок длиной $h_a$. Через конец этого отрезка провести прямую $m$, параллельную $l$. Вершина $A$ будет лежать на прямой $m$.

4. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным $b$.

5. Точки пересечения прямой $m$ и построенной окружности будут являться искомой вершиной $A$.

Исследование:

• Если $b < h_a$, то окружность и прямая $m$ не пересекаются. В этом случае задача не имеет решения.

• Если $b = h_a$, окружность касается прямой $m$ в одной точке. В этом случае существует единственное решение — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$.

• Если $b > h_a$, окружность пересекает прямую $m$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$). В общем случае мы получаем два различных треугольника ($A_1BC$ и $A_2BC$), которые являются решениями задачи.

Ответ: Соединив найденную точку (или точки) $A$ с точками $B$ и $C$, получаем искомый треугольник (или треугольники) $ABC$.

Случай 2: Даны стороны $a$, $b$ и высота $h_b$, опущенная на сторону $b$.

В этом случае нам нужно построить треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и высотой $BH = h_b$, где $H$ — основание высоты на прямой $AC$.

Анализ: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. В нем известен катет $BH = h_b$ и гипотенуза $BC = a$. С построения этого треугольника можно начать. Вершина $A$ лежит на прямой, содержащей катет $HC$, на расстоянии $b$ от вершины $C$.

Построение:

1. Построим отрезок $BH$ длиной $h_b$.

2. Через точку $H$ проведем прямую $l$, перпендикулярную отрезку $BH$. На этой прямой будут лежать вершины $A$ и $C$.

3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$.

4. Точка пересечения этой окружности и прямой $l$ даст нам вершину $C$. Для существования решения необходимо, чтобы $a \ge h_b$. Если $a > h_b$, окружность пересечет прямую в двух точках, симметричных относительно $H$. Выберем одну из них в качестве вершины $C$.

5. Теперь на прямой $l$ от точки $C$ отложим отрезок $CA$ длиной $b$. Точка $A$ — третья искомая вершина. Обратите внимание, что в зависимости от того, в какую сторону от точки $C$ откладывать отрезок, могут получиться разные треугольники (например, один остроугольный и один тупоугольный).

Исследование:

• Если $a < h_b$, то окружность с центром в $B$ и радиусом $a$ не пересечет прямую $l$. Задача не имеет решения.

• Если $a \ge h_b$, то вершину $C$ можно построить. После этого построение вершины $A$ всегда возможно. Таким образом, при $a \ge h_b$ задача имеет решение.

Ответ: Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.