Номер 4.43, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.43. Даны отрезки длиной $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы $AB = a$, $BC = b$, $AC = 2c$. Всегда ли задача имеет решение?

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC со сторонами $AB = a$, $BC = b$ и $AC = 2c$, имея отрезки $a$, $b$ и $c$, необходимо выполнить следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $c$. От точки A на прямой отложим дважды отрезок $c$ в одном направлении. Конец второго отрезка обозначим точкой C. Таким образом, мы построили сторону $AC$ длиной $2c$.
3. С помощью циркуля измерим длину отрезка $a$. Из точки A, как из центра, проведем дугу окружности радиусом $a$.
4. С помощью циркуля измерим длину отрезка $b$. Из точки C, как из центра, проведем дугу окружности радиусом $b$.
5. Точка пересечения этих двух дуг (одна из двух, если они пересекаются в двух точках) будет третьей вершиной треугольника, B.
6. Соединим точку B с точками A и C.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как по построению его стороны равны $AB = a$, $AC = 2c$ и $BC = b$.

Ответ: Вышеописанные шаги определяют алгоритм построения искомого треугольника.

Всегда ли задача имеет решение?

Задача о построении треугольника по трем сторонам имеет решение не всегда. Для того чтобы треугольник с заданными сторонами существовал, должно выполняться неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

В данном случае длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $2c$. Следовательно, для существования треугольника ABC необходимо одновременное выполнение трех условий:

• $a + b > 2c$
• $a + 2c > b$
• $b + 2c > a$

Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется для данных длин отрезков $a$, $b$ и $c$, то построить такой треугольник невозможно (дуги, описанные в шагах 3 и 4 построения, не пересекутся или пересекутся на прямой AC).

Например, если $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$, то стороны треугольника должны быть $2$, $3$ и $2 \cdot 4 = 8$. Неравенство $a + b > 2c$ принимает вид $2+3 > 8$, или $5 > 8$, что неверно. Значит, с такими длинами отрезков задача решения не имеет.

Таким образом, задача имеет решение не всегда, а только при выполнении всех трех указанных неравенств.

Ответ: Нет, задача имеет решение не всегда. Решение существует только тогда, когда выполняются неравенства треугольника для сторон $a$, $b$ и $2c$: $a+b > 2c$, $a+2c > b$ и $b+2c > a$.